Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57 Сообщений: 1653 Откуда: Татарстан, Красноярск
Условие:Найти все значения параметра `a`, при которых уравнение `(x^2-x+a^2+1)^2=4a^2(5x^2-x+1)` имеет ровно три различных корня. Решение:
Подробности:
`((x^2-x+1)+a^2)^2=4a^2(4x^2+x^2-x+1)=>(a^2-(x^2-x+1))^2=(4ax)^2` `(a^2-(x^2-x+1))=+-(4ax)` 1)`a^2-x^2+x-1=4ax=>x^2+(4a-1)x+1-a^2=0` `D=20a^2-8a-3`, `D>=0` при `a in (-oo;(2-sqrt(19))/10]uuu[(2+sqrt(19))/10;+oo)` 2)`a^2-x^2+x-1=-4ax=>x^2-(4a+1)x+1-a^2=0` `D=20a^2+8a-3`, `D>=0` при `a in (-oo;(-2-sqrt(19))/10]uuu[(-2+sqrt(19))/10;+oo)` Сравнивая дискриминанты получим, что при `a=+-(2+sqrt(19))/10` три корня. Возможен такой случай удовлетворяющий условию задачи, когда имеем два различных корня(например:`x_1!=x_3`), а другие два равны друг другу(например:`x_2=x_5`). Способ №1 Пусть `x_0` общий корень. `{((x_0)^2+(4a-1)x_0+1-a^2=0),((x_0)^2-(4a+1)x_0+1-a^2=0):}` `8ax=0`. `a=0` не удовлетворяет т.к данное значение `!inD` первого и второго уравнения. `x_0=0` подставим полученные значение в первое уравнение системы и получим:`a=+-1` при этом значении имеем три корня. Способ №2 Находим корни первого уравнения `x_1=(1-4a+sqrt(20a^2-8a-3))/2` `x_2=(1-4a-sqrt(20a^2-8a-3))/2`, находим корни второго уравнения `x_3=(4a+1+sqrt(20a^2+8a-3))/2` `x_4=(4a+1-sqrt(20a^2+8a-3))/2`. Если `a in((2+sqrt(19))/10;+oo)`, то `x_3>x_4` и `x_1>x_2` причем `x_3>x_1`, тогда возможно `x_1=x_4=>(1-4a+sqrt(20a^2-8a-3))/2=(4a+1-sqrt(20a^2+8a-3))/2=>a^2-1=0=>a=+-1`, но `a=-1` не удовлетворяет условию `a in((2+sqrt(19))/10;+oo)`, значит при `a=1` три корня. Аналогично рассматриваем когда `a in(-oo;(-2-sqrt(19))/10)`, то `x_1>x_2` и `x_3>x_4` причем `x_1>x_3` тогда возможен случай `x_2=x_3=>(1-4a-sqrt(20a^2-8a-3))/2=(1+4a+sqrt(20a^2+8a-3))/2=>a^2-1=0=>a=+-1`, но `a=1` не удовлетворяет условию `a in(-oo;(-2-sqrt(19))/10)`, значит при `a=-1` три корня. Ответ: `a=+-1;+-(2+sqrt(19))/10`.
_________________ Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения