Доброго времени суток!
Вчера мне предложили задачу, которая поставила меня в тупик:
Может ли число, состоящее из 10 различных цифр, быть точным кубом натурального числа?
Мне в голову пришло только следующее:
1. Поскольку сумма всех цифр = 45, то наше число делится на 9. Если бы удалось как-нибудь доказать, что оно не делится на 27, то на вопрос задачи мы дали бы отрицательный ответ.
2. Чтобы $n^3$ было десятизначным числом, n должно принадлежать $[1000; 2154]$.
3. Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой.
Как рассуждать дальше, не имею ни малейшего представления. Буду очень признателен всем, кто поделится какими-нибудь идеями.
P. S. Я создал аналогичную тему на форуме
http://dxdy.ru/post1163387.html#p1163387, но,. похоже, тамошним обитателям она тоже не по зубам
_________________
Математика – это язык, которым с людьми разговаривают боги.
my you tube