Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 04 май 2014, 10:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 сен 2013, 15:53
Сообщений: 12
Откуда: г. Мирный
Цитата:
Десятичная запись натурального числа n состоит из неповторяющихся цифр одной четности (двух или больше), а само оно является квадратом натурального числа. Найдите все такие n


Методом подбора среди двухзначных нашла число 64. Также проверила все возможные трехзначные числа, среди них тоже нет. Т.к четных или нечетных цифр всего 5, то максимальное такое число - пятизначное. Пыталась составлять уравнения на основе десятичной записи числа, но они вышли не слишком полезными для решения. Помогите, пожалуйста:)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 04 май 2014, 11:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 окт 2011, 07:26
Сообщений: 2967
Мысли от совершенно-непрофессионала-С6.
"квадрат натурального числа" определенно связан с последней цифрой этого числа.
Если мы возьмем квадрат нечетного числа, то в качестве последней цифры сразу отметаются 3 и 7, немного не сразу отметаются 1 и 5.
1: `(10k+1)^2=100k^2+20k+1` - предпоследняя цифра четная - не подходит
5: `(10k+5)^2=100k^2+100k+25` - квадрат любого числа, заканчивающегося на 5, заканчивается на 25 - не подходит.
Остается проверить число, которое оканчивается на 9.
3: `(10k+3)^2=100k^2+60k+9` - т.к. в предпоследний разряд не происходит переноса единицы из последнего, то предпоследняя цифра четная - не подходит
7: `(10k+7)^2=100k^2+140k+49` - к предпоследней четной цифре переносится 4 - получается четная цифра - не подходит.
Вывод: число, состоящее из нечетных цифр, не может являться квадратом натурального числа.

Аналогичный анализ делаем для четных цифр. И очень критически относимся к предыдущему рассуждению :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 05 май 2014, 14:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1698
78*78 = 6084. Как это найти без нудятины - без понятия, боюсь, что никак.

UPD. Нудятины меньше, чем ожидалось.

1. Число четно, потому что квадрат нечетного имеет четную цифру в разряде десятков.
2. Число не оканчивается на 0 и 6 --> его корень оканчивается на 2 и 8, а само число - на 4.
3. Сумма цифр числа имеет остаток 0,1,4 или 7 при делении на 9.
4. Из 1-3 следует, что число следует искать среди квадратов 8,12,18,22,28 и среди чисел
6804, 6084, 8604, 8064. Итого - перебор из 9-ти вариантов.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 06 май 2014, 06:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 сен 2013, 15:53
Сообщений: 12
Откуда: г. Мирный
Спасибо большое!:) Действительно, оказалось не так уж и нудно, а то, встречая решения подобных задач, не видела много текстового объяснения, в основном на буквах и формулах О_О


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 06 май 2014, 11:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1698
AnnaGlad писал(а):
Спасибо большое!:) Действительно, оказалось не так уж и нудно, а то, встречая решения подобных задач, не видела много текстового объяснения, в основном на буквах и формулах О_О


Надо еще доказать 1-2-3-4. Это несложно, но дополнительные буквы и формулы или текст непременно возникнут :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 08 май 2014, 14:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 сен 2013, 15:53
Сообщений: 12
Откуда: г. Мирный
Цитата:
3. Сумма цифр числа имеет остаток 0,1,4 или 7 при делении на 9.

Не смогла разобраться с доказательством этого пункта.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6, десятичная запись натурального числа n...
 Сообщение Добавлено: 08 май 2014, 20:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1698
AnnaGlad писал(а):
Цитата:
3. Сумма цифр числа имеет остаток 0,1,4 или 7 при делении на 9.

Не смогла разобраться с доказательством этого пункта.


1. 768 имеет остаток 3 при делении на 9. 7+6+8 имеет остаток 3 при делении на 9. Это случайность или нет? :)

Конечно не случайность, докажите, что они всегда совпадают.

2. Если число - точный квадрат, то его остаток при делении на 9 не может быть абы каким, а всегда 0,1,4 или 7. Докажите.

3. Соедините 1 и 2 и докажите то, с доказательством чего не смогли разобраться.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: