Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка с турнира им. Ломоносова
 Сообщение Добавлено: 26 сен 2010, 22:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35
Сообщений: 6126
Откуда: Воронеж
Сегодня прошел этот самый турнир.

Можно было бы обсудить седьмую задачу:

Существуют ли такие целые положительные `x` и `y`, что
`x^4-y^4=x^3+y^3`?

Все задачи турнира: http://olympiads.mccme.ru/turlom/2010/z ... index.html


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка с турнира им. Ломоносова
 Сообщение Добавлено: 27 сен 2010, 09:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2321
Откуда: Саранск
Не существуют.
`(x^2+y^2)(x-y)(x+y)-(x+y)(x^2-xy+y^2)=0`
`(x+y)((x^2+y^2)(x-y)-(x^2-xy+y^2))=0`
`x+y>0 =>(x^2+y^2)(x-y-1)=-xy =>x-y-1<0=>x-y<1`
`x-y-1=-(xy)/(x^2+y^2)>= -1/2`(Неравенство Коши)
`1/2<=x-y<1`
`

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка с турнира им. Ломоносова
 Сообщение Добавлено: 27 сен 2010, 18:22 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5476
Можно еще вот эту задачку посмотреть.
Было 8 грузиков массами 1, 2, . . ., 8 г. Один из них потерялся,
а остальные выложили в ряд по возрастанию массы. Есть весы с лампочкой,
при помощи которых можно проверить, имеют ли две группы грузиков
одинаковую массу. Как за 3 проверки определить, какой именно грузик
потерялся?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка с турнира им. Ломоносова
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2010, 23:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35
Сообщений: 6126
Откуда: Воронеж
scorpion писал(а):
Не существуют.
`(x^2+y^2)(x-y)(x+y)-(x+y)(x^2-xy+y^2)=0`
`(x+y)((x^2+y^2)(x-y)-(x^2-xy+y^2))=0`
`x+y>0 =>(x^2+y^2)(x-y-1)=-xy =>x-y-1<0=>x-y<1`
`x-y-1=-(xy)/(x^2+y^2)>= -1/2`(Неравенство Коши)
`1/2<=x-y<1`
`


Нда, обсуждения решения уравнения в целых числах не получилось. А я-то думал, что наши абитуриенты набросятся на эту лёгкую задачку.

Позволю себе высказаться по поводу предложенного решения.
При всём своём огромном уважении к sсorpion, хочу заметить, что её решение закончилось в третьей строчке, т.к. неравенство `x-y<1` противоречит условию задачи.
Короче, Коши отдыхает…

Позволю себе привести своё решение:

Ясно, что `x-y>=1.`
Разделив обе части на `xy(x+y))`, получим равносильное уравнение:
`(x-y)(x/y+y/x)=x/y+y/x-1`. (*)
Левая часть не меньше `x/y+y/x`, а правая – меньше `x/y+y/x`, значит, уравнение (*) не имеет решений, следовательно, не имеет решений и равносильное ему исходное уравнение.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка с турнира им. Ломоносова
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2010, 08:17 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2321
Откуда: Саранск
Ну перестаралась чуть-чуть :) Спасибо! :-*

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: