Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Коварство
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2011, 14:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Предлагаю вашему вниманию задачку, составленную преподователем моего ВУЗа.
Условие: `a,b,c,d` -натуральные числа и `(a^2+b^2-c^2-d^2)/(ab-cd)=2009`. Найти `a+b+c+d`, если известно, что это число простое.

Она же на dxdy

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Последний раз редактировалось Alek 05 ноя 2011, 19:04, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2011, 17:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 16 май 2011, 11:20
Сообщений: 233
Alek писал(а):
Предлагаю вашему вниманию задачку, составленную преподователем моего ВУЗа.
Условие: `a,b,c,d` -натуральные числа и `(a^2+b^2-c^2-d^2)/(ab-cd)=2009`. Найти `a+b+c+d`, если извечсьно, что это число простое.

Она же на dxdy


Мои рассуждения:
`(a^2+b^2-c^2-d^2)/(ab-cd)=2009 <=>`

`<=> ((a^2+2ab+b^2)-(c^2+2cd+d^2)-2ab+2cd)/(ab-cd)=2009 <=>`

`<=> ((a+b)^2-(c+d)^2-2(ab-cd))/(ab-cd)=2009,`

`((a+b+c+d)(a+b-c-d))/(ab-cd)-2=2009 <=>`

`<=> ((a+b+c+d)(a+b-c-d))/(ab-cd)=2011`

`2011` - простое число (убедиться в этом можно с помощью простых методов)

Ясно, что `a+b+c+d>(a+b-c-d)/(ab-cd)`, т.к. по условию `{a,b,c,d} in N`.

Пусть `(a+b-c-d)/(ab-cd)=x`, тогда `x*(a+b+c+d)=2011`, но `(a+b+c+d)>0`, имеем, `(a+b+c+d)=2011` - искомая
сумма

Ответ: `2011`

_________________
Информатика 97
Русский язык 76
Математика 90
Физика 73
Обществознание 78


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2011, 17:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 16 май 2011, 11:20
Сообщений: 233
Почитал тему, очень интересно, как доказать, что не может быть ситуации
`a+b-c-d=2011, \ (a+b+c+d)/(ab-cd)=1` :-\
Интересная задачка)

_________________
Информатика 97
Русский язык 76
Математика 90
Физика 73
Обществознание 78


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2011, 19:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Laurent писал(а):
Пусть `(a+b-c-d)/(ab-cd)=x`, тогда `x*(a+b+c+d)=2011`, но `(a+b+c+d)>0`, имеем, `(a+b+c+d)=2011` - искомая
сумма
Ответ: `2011`


Почему так быстро ответ написали? А как же второй случай?

На то она и математика, что бы удивлять.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 05 ноя 2011, 23:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 928
Откуда: Казань
Прибавляя - вычитая удвоенные произведения, совместными усилиями с Alek, получили
`((a+b+c+d)(a+b-c-d))/((a-b+c-d)(a-b-c+d)) =2011/2007`. Отметим сразу, что имеется решение `a=561, b=445, d=556, c=449`
с `a+b+c+d =2011`. Конечно, существуют простые числа и отличные от `2011`. Перепишем предыдущее равенство As Is, до сокращения: `((a+b+c+d)(a+b-c-d))/((a-b+c-d)(a-b-c+d)) =(2011 cdot P cdot n)/(2007 cdot P cdot n)`, где `P=a+b+c+d` - простое, `n` - натуральное. Случай `P<2011` невозможен "по числителю" (`a, b, c, d in NN`), а случай `P>2011` невозможен "по знаменателю" ( `P` - простое).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 06 ноя 2011, 10:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Большое спасибо Иваныч за обсуждение.

Но думаю вот это будет лишним: :)
Иваныч писал(а):
совместными усилиями с Alek, получили

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 06 ноя 2011, 11:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 928
Откуда: Казань
Alek писал(а):
Большое спасибо Иваныч за обсуждение.

Но думаю вот это будет лишним: :)
Иваныч писал(а):
совместными усилиями с Alek, получили

Прошу прощения, вчера, в поздний час, в темноте, напутал. Надо было: "совместными усилиями с Laurent получили" и далее по тексту.
Laurent писал(а):
Мои рассуждения:
`(a^2+b^2-c^2-d^2)/(ab-cd)=2009 <=> ...` `<=> ((a+b+c+d)(a+b-c-d))/(ab-cd)=2011`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 06 ноя 2011, 11:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 04 окт 2011, 16:17
Сообщений: 78
Откуда: Иваново
Хорошая задачка.Чуть усложнить и на регион потянет!Хотя там по теории чисел больше Сендеров работает...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 07 ноя 2011, 10:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Laurent писал(а):
Почитал тему, очень интересно, как доказать, что не может быть ситуации
`a+b-c-d=2011, \ (a+b+c+d)/(ab-cd)=1` :-\
Интересная задачка)


Здравствуйте. Если я не ошибаюсь то этот случай не имеет решения в целых числах.
Чуть позже постараюсь выложить свое решение(только сперва Английский сделаю). Как мне кажется оно вроде бы полноценное.
Конечно не такое лаконичное к у Иваныч'а.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Коварство
 Сообщение Добавлено: 08 ноя 2011, 19:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Условие: `a,b,c,d` -натуральные числа и `(a^2+b^2-c^2-d^2)/(ab-cd)=2009`. Найти `a+b+c+d`, если известно, что это число простое.
Подробности:
Решение
Прибавим к исходному равенству `2`, получим: `((a+b+c+d)(a+b-(c+d)))/(ab-cd)=2011`
Заметим, что `{(a+b+c+d>=5),(a+b-(c+d)<a+b+c+d),(ab-cd!=0):}`

Рассмотрим четыре случая:
1) `{(a+b+c+d=2011),((a+b-(c+d))/(ab-cd)=1):}=>{(a+b+c+d=2011),(a+b-(c+d)-ab+cd=0):}=>{(a+b+c+d=2011),(a(1-b)+b+c(d-1)-d=0):}` система имеет решения, например: `b=d=1; a+c=2009` - тут уже дело фантазии :D .
Значит случай 1) возможен, тогда `a+b+c+d=2011`.

2)
`{((a+b+c+d)/(ab-cd)=2011),(a+b-(c+d)=1):}` - по условию `a+b+c+d` - число простое и больше `1`. Значит, что бы система имела решения необходима, что бы `ab-cd=1`.
Тогда система примет вид: `{(a+b+c+d=2011),(ab-cd=1),(a+b-(c+d)=1):}` - эту систему можно не решать. Потому, что наше искомое все равно не измениться, то есть нового мы ничего не откроем. Кроме как различных пар значений `a,b,c,d` которые в сумме дадут `2011`.

3)
`{((a+b+c+d)(a+b-(c+d))=2011),(ab-cd=1):}` - т.к `a+b+c+d` - число простое и больше `1`, тем более `2011` - тоже простое число. Значит, что бы система имела решения необходима, чтобы `a+b-(c+d)=2011`. В итоге получим систему: `{(a+b+c+d=2011),(a+b-(c+d)=1),(ab-cd=1):}` - данный случай уже рассматривался в 2)

Подробности:
4)
`{((a+b+c+d)/(ab-cd)=1),(a+b-(c+d)=2011):}=>{(a+b+c+d=p),(ab-cd=p),(a+b=2011+c+d):}`, где `p`-простое число `>2011`. Далее получаем: `{(a+b=p-(c+d)),(a+b=2011+c+d),(ab-cd=p):}=>{(a+b=(p-2011)/2+2011),(c+d=(p-2011)/2),(ap-cd=p):}`

Пусть `p-2011=2n=>p=2n+2011`, где `n in N`. Тогда система примет вид. `{(a+b=n+2011),(c+d=n),(ab-cd=p):}` - сложив первое со вторым, получим `a+b+c+d=2n+2011=p` : `{(a+b=n+2011),(c+d=n),(ab-cd=2n+2011):}=>{(c=n-d),(a=n+2011-b),(ab-cd=2n+2011):}=>(n+2011-b)b-(n-d)d=2n+2011=>d^2-nd-2011=b^2-(2011+n)b+2n` - Заметим, что левая и правая часть целые.
Рассмотрим: `d^2-nd-2011=b^2-(2011+n)b+2n=>`


Внимание!!! В запись вида: `a+-d=c` я внес смысл как: `a+-b=(a+b)(a-b)`


`=>2d-(n+-sqrt(n^2+8044))=2b-(2011+n+-sqrt((n+2007)^2+16072))`

Здесь запись вида: `a+-d=c` имеет привычный для нас смысл!

Если `{(2d-(n+-sqrt(n^2+8044))=2b-(2011+n+-sqrt((n+2007)^2+16072))),(2d-(n-+sqrt(n^2+8044))=2b-(2011+n-+sqrt((n+2007)^2+16072))):}` то система не будет иметь решения. Почему? Ведь если
мы вычтем первое уравнение из второго или начнем решать методом подстановки то, получим выражение типа: `sqrt((n+2007)^2+16072)=+-sqrt(n^2+8044)` - что не имеет решения в целых числах.

Тут смысл записи имеет привычный смысл, c различными вариантами значений: например: `c=+-1=>[(c=1),(c=-1):}`

Если `{(2d-n+-sqrt(n^2+8044)=+-1),(2d-n+-sqrt(n^2+8044)=(2b-(n+2011))^2-((n+2007)^2+16072)):}` либо запись подобного вида. То в таком случае у нас обязательно будет выражение вида: `2d-n+-sqrt(n^2+8044)=+-1` подкоренное выражение будет целым, только при `n=2010`. Тогда `d` из первого уравнения примет значения: `d=+-1/2+1005+-1006` - что не удовлетворяет условию(т.к `d` - натуральное).
А это означает, что случай 4) не имеет решения в натуральных числах. Ответ: `a+b+c+d=2011`


Лаконичность не ощущается, но постарался написать подробно. ;;)
Уважаемые участники!
Если Вы обнаружите ошибку, то сообщите об этом пожалуйста.
Спасибо.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Коварство


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: