Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 23 окт 2010, 15:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
решите в простых числах
`2^p-q^2=1999`
очевидно что `p=11`, `q=7` но не могу доказать что решение единственное, помогите если не трудно


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 23 окт 2010, 21:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 10 окт 2010, 07:08
Сообщений: 530
Откуда: Чебоксары
Набросок сурового чувашского решения. :)

0. p>10.
1. Любой точный квадрат при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2 и 4.
2. 1999 при делении на 7 дает остаток 4.
3. Если q=7, то p=11. Далее считаем, что q не равно 7.
4. q не делится на 7 (так как q - простое).
5. Следовательно, q^2 при делении на 7 может давать остатки 1, 2 и 4.
6. q^2 + 1999 при делении на 7 может давать остатки 5, 6 и 1.
7. 2^p при делении на 7 может давать остатки 2, 4, 1.
8. Остатки при делении левой и правой частей на 7 равны друг другу, а значит, равны 1.
9. Однако 2^p дает остаток 1 при делении на 7, только если p=3k, т.е. p - не простое.
10. Следовательно, q=7, p=11 - единственное решение в простых числах.

:)
Утверждения, представленные в каждом пункте, легко доказываются по отдельности.

_________________
Господь на Своем Суде ВАКовский список учитывать не будет.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 15:29 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
что значит точный квадрат?
вот к примеру я беру число 169 делю на 7 остаток получается 3
если я правильно, конечно, понял


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 15:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
crewww писал(а):
что значит точный квадрат?
вот к примеру я беру число 169 делю на 7 остаток получается 3 что противоречит 1 пункту
если я правильно, конечно, понял


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 15:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 18:20
Сообщений: 653
Точный квадрат - это такое число, которое можно представить в виде квадрата некоторого целого числа. Например, 16, 25, 64, 81, ... - это точные квадраты.

Раздели уголком 169 на 7 с остатком. Остаток должен быть равен 1.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 16:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
Sticker писал(а):
Точный квадрат - это такое число, которое можно представить в виде квадрата некоторого целого числа. Например, 16, 25, 64, 81, ... - это точные квадраты.

Раздели уголком 169 на 7 с остатком. Остаток должен быть равен 1.

невнимательно посчитал


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 16:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
Мак Сим писал(а):
Набросок сурового чувашского решения. :)


5. Следовательно, q^2 при делении на 7 может давать остатки 1, 2 и 4.
6. q^2 + 1999 при делении на 7 может давать остатки 5, 6 и 1.
7. 2^p при делении на 7 может давать остатки 2, 4, 1.
8. Остатки при делении левой и правой частей на 7 равны друг другу, а значит, равны 1.
9. Однако 2^p дает остаток 1 при делении на 7, только если p=3k, т.е. p - не простое.

вот эти пункты несовсем понятны остались


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 16:08 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5502
Как разновидность решения:
Можно преобразовать `2^p-2^11=q^2-7^2`
Любое простое число может быть представлено в виде `p=6k-1` или `p=6k+1`
В первом случае при `p>11` получим `2^11(2^(6k-12)-1)=q^2-7^2` - левая часть делится на 7, а правая - нет (если `q>7` и является простым числом).
Во втором случае тоже доказывается невозможность, но перебором остатков от деления на 7 - про это Мак Сим очень хорошо и подробно написал. Так что изложенное выше -лишь комментарий к его решению.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 16:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 июл 2010, 08:22
Сообщений: 48
admin писал(а):
Как разновидность решения:
Можно преобразовать `2^p-2^11=q^2-7^2`
Любое простое число может быть представлено в виде `p=6k-1` или `p=6k+1`
В первом случае при `p>11` получим `2^11(2^(6k-12)-1)=q^2-7^2` - левая часть делится на 7, а правая - нет (если `q>7` и является простым числом).
Во втором случае тоже доказывается невозможность, но перебором остатков от деления на 7 - про это Мак Сим очень хорошо и подробно написал. Так что изложенное выше -лишь комментарий к его решению.

сложно разобраться в формулах когда они в таком виде... почему у меня они не отображаются нормально? на учебе про вроде все нормально, значит проблема не в браузере


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: c6 на школьной олимпиаде попалась
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 16:43 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5502
Здесь немного другая система отображения формул viewtopic.php?f=3&t=6


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: