Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 23 июн 2010, 21:07 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5494
Мехмат, но на удивление простая задача.
Найти все целочисленные решения уравнения `(45/8)^(x^3-4x^2+2y+6)=(162/5)^(y^3-4y^2+2x-1)`.
У меня получилось
Подробности:
`x=2; y=1`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 13:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35
Сообщений: 6126
Откуда: Воронеж
Действительно, для С6 задача простовата, для мехмата же в самый раз.

«Неравенство» в условии – это очепятка?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 16:00 
Как Вам такой вариант: свести к системе уравнений , потом вычесть из одного уравнения другое и рассмотреть f(t)=t^3-4t^2-2t в точках (-2,-1,0,1,2,3,4) и найти те, где разность значений 7.... f(1)=-5, f(2)=-12... т.о. (2;1)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 16:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35
Сообщений: 6126
Откуда: Воронеж
петр писал(а):
рассмотреть f(t)=t^3-4t^2-2t


Откудова f(t)? И почему толька эти значения t?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 19:47 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5494
Довольно быстро получаются очевидные равенства
`{(x^3-4x^2+2y+6=0),(y^3-4y^2+2x-1=0):}`
Вычтем:
`(x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)(x+y)-2(x-y)+7=0`
Отсюда следует, что `x-y` является делителем числа 7. Т.е. `x-y=1;-1;7;-7`
Далее рассматриваем 4 случая, подставляем в одно из уравнений и ищем целые решения (они являются делителями свободного члена. Получаем, что целые корни будут только в случае `x=2;y=1`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 20:48 
Уважаемый Александр Александрович!
`{(x^3-4x^2+2y+6=0),(y^3-4y^2+2x-1=0):}`
Пытался придумать нечто экзотическое:
Вычтем и сгруппируем:
(y^3-4у^2-2y)-(x^3-4x^2-2x)-7=0
f(t)=t^3-4t^2-2t т.о.
f(y)-f(x)=7 (подходящие для проверки значения "кучкуются" при -3<t<5,t-целое, при других целых t расстояния даже между f(t) и f(t+1) по оси у слишком большие и не подходят- всё это можно легко доказать)
f(-2)=-20, f(-1)=-3, f(0)=0, f(1)=-5, f(2)=-12, f(3)=-15, f(4)=-8 ... f(5) =15, f(6)=60 ... очень быстро "растет", при уходе в "-" аналогично
т.о. проверяем пары (2;1) и (4;3)
подходит только (2;1).
Получилось?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2010, 20:56 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5494
Да, я понял Ваш способ - всегда, когда функции одинаковые, есть соблазн сделать что-нибудь этакое... Конечно, всё так, но вот только насчет больших расстояний - это доказывать надо более строго по-моему... вот пришло в голову - приплести теорему Лагранжа как-нибудь...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 11 авг 2010, 22:12 
В принципе, можно построить эскиз графика( аргументация "кучкования"), а потом рассмотреть разность f(t+1)-f(t), я думаю, этого должно быть достаточно для док-ва больших расстояний между соседними целыми числами.
P.S. Наверное, формулу конечных приращений тут и можно было бы применить, но я работаю в общеобразовательном классе и детям её не давал.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 09 окт 2014, 20:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 06 окт 2014, 20:15
Сообщений: 22
дроби имеют в разложении на простые множители только 2 3 и 5. после череды преобразований получим `2^a3^b5^c=1` откуда `a,b,c = 1` и отсюда решить


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С6: степенное уравнение (несложное)
 Сообщение Добавлено: 09 окт 2014, 20:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4914
Откуда: Санкт-Петербург
feeq писал(а):
дроби имеют в разложении на простые множители только 2 3 и 5. после череды преобразований получим `2^a3^b5^c=1` откуда `a,b,c = 1` и отсюда решить

откуда `a,b,c = 1` - ???

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: