Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Типа С6




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачко
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2010, 15:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 29 окт 2010, 17:18
Сообщений: 25
Действительные числа a,b,c,d удовлетворяют равенствам `a+b=c+d` и `a^100+b^100=c^100+d^100`. Докажите, что `a^10+b^10=c^10+b^10.
Пока в голову приходит только:
вот такие преобразования)
`a^(2^0*5^0)+b^(2^0*5^0)=c^(2^0*5^0)+d^(2^0*5^0)`
`a^(2^1*5^1)+b^(2^1*5^1)=c^(2^1*5^1)+d^(2^1*5^1)`
`a^(2^2*5^2)+b^(2^2*5^2)=c^(2^2*5^2)+d^(2^2*5^2)`

оно же на дайри - http://eek.diary.ru/p134071121.htm


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачко
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2010, 19:18 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5494
polinom писал(а):
Докажите, что `a^10+b^10=c^10+b^10.

Здесь точно `b` и справа и слева?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачко
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2010, 20:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 29 окт 2010, 17:18
Сообщений: 25
нет, очепятка вышла, конечно же там d.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачко
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2010, 20:09 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5494
Тогда так:
Сначала замечание для доцентов: рассмотрим `a!=b; c!=d`, т.к. при равенстве все очевидно.
Надо функцию искать монотонную, чтоб объявить равенство переменных при равенстве значений. Если не удастся, то попробуем черную магию.
`a+b=c+d=n; b=n-a; d=n-c`
Тогда `a^100+b^100=a^100+(n-a)^100; c^100+d^100=c^100+(n-c)^100`
Рассмотрим функцию `f(x)=x^(2m)+(n-x)^(2m)`
Тогда по условию при `m=50` получаем `f(a)=f(c)`
Только вот функция эта не монотонна. Легко найти (я эту лабуду пропущу - там всё как всегда), что эта функция имеет минимум при `x=n/2`.
Еще важно отметить, что график функции симметричен относительно прямой `x=n/2`
Таким образом равенство значений функции `f(a)=f(c)` возможно, если `a=c`, тогда утверждение задачи доказано, либо, если `a` и `c` симметричны относительно `x=n/2`
Тогда `a+c=n`, но по условию `a+b=n`, значит `b=c`, а тогда `a=d` - утверждение задачи опять выполняется.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачко
 Сообщение Добавлено: 15 ноя 2010, 20:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 29 окт 2010, 17:18
Сообщений: 25
спасибо!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Задачко


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: