А никого не натолкнет на верное решение нашей задачи, если есть разобранная ей подобная? Я данное решение плохо понимаю.
Спасибо, "marsht"! Это именно то, что нужно. Все стало понятно. Кстати, откуда решение? Статья из Кванта?
В нашей задаче вычисляем потенциалы пластин как сумму потенциалов от двух заряженных конденсаторов, первый из которых имеет обкладками пластины 1 и 2 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_1=mathcal(E)_1`, а второй - пластины 2 и 3 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_3=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`. Тогда: `varphi_1=-mathcal(E)_1/2+(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2=-mathcal(E)_2/2` `varphi_2=+mathcal(E)_1/2+(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2/2` `varphi_3=+mathcal(E)_1/2-(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2=+mathcal(E)_2/2` А далее - решение по тексту от Serpukhov.
P.S. Чтобы убедиться в справедливости этих манипуляций, можно воспользоваться точной формулой (1) для тонкого диска (кстати, формула получена прямым интегрированием по площади диска потенциалов от точечных зарядов: `d varphi=1/(4 pi varepsilon_0) cdot (2 pi r dr sigma)/(r^2+x^2)^(1/2) =sigma/(4 varepsilon_0) cdot (r^2+x^2)^(- 1/2) cdot d(r^2+x^2)`, ) и получить точную формулу для потенциала двух плоскостей, т.е. конденсатора. Даже не вычисляя потенциал, можно заключить (используем симметрию задачи), что потенциал заряженного конденсатора `varphi(x)` - нечетная функция `x` ( центр оси `X` помещен по центру между пластинами), и значит, поле `E_x(x)=- (d varphi)/(dx)` - четная функция `x`.
P.P.S. Следует уточнить понятие точность формулы (1). Формула (1) точна для равномерно заряженного диска конечного радиуса. На реальном металлическом диске плотность заряда - не постоянна: она практически постоянная вдали от края диска, на на крае происходит концентрация заряда и поля (краевой эффект), так что на периферии диска поверхностная плотность заряда значительно больше плотности заряда в центральной области диска.
Последний раз редактировалось ar54 13 фев 2017, 08:49, всего редактировалось 1 раз.
Мое решение соответствует положению заряду со скоростью 0 на первой сетки.
Юрий Владимирович, посмотрите на полярность источников: в 1-ом промежутке поле - тормозящее для положительно заряженной частицы (во 2-м промежутке - ускоряющее). Поэтому, если скорость частицы на 1-ой сетке равна 0, то она вообще не сможет пролететь систему трех сеток.
vyv2 писал(а):
Решение с двойкой соответствует нулевой скорости заряда в бесконечности.
Нет. Чтобы частица заведомо прошла все три сетки, скорость на бесконечности должна быть не меньше `sqrt(q/m (2 mathcal(E)_1-mathcal(E)_2))` (частица должна преодолеть вершину потенциальной горки, которая находится на 2-ой сетке). Так для протона: `v_infty >quad ~~170` км/с.
Зарегистрирован: 17 май 2015, 09:31 Сообщений: 107
ar54 писал(а):
Кстати, откуда решение? Статья из Кванта?
В нашей задаче вычисляем потенциалы пластин как сумму потенциалов от двух заряженных конденсаторов, первый из которых имеет обкладками пластины 1 и 2 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_1=mathcal(E)_1`, а второй - пластины 2 и 3 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_3=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`.
Да, это Квант №3 1999 год. "Заряженные частицы и поля".
Получается, что можно записать: `varphi_(12)=mathcal(E)_1`, и `varphi_(23)=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`
Это понятно . А вот далее все никак разобраться не могу .
Почему потенциал первой пластины равен разности потенциалов между пластинами 1 и 2 деленный пополам да еще со знаком минус и к этому мы прибавляем разность потенциалов между пластинами 2 и 3 и тоже делим пополам?
Кстати, откуда решение? Статья из Кванта? В нашей задаче вычисляем потенциалы пластин как сумму потенциалов от двух заряженных конденсаторов, первый из которых имеет обкладками пластины 1 и 2 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_1=mathcal(E)_1`, а второй - пластины 2 и 3 с разностью потенциалов `varphi_2-varphi_3=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`.
Да, это Квант №3 1999 год. "Заряженные частицы и поля".
Получается, что можно записать: `varphi_(12)=mathcal(E)_1`, и `varphi_(23)=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`
Это понятно . А вот далее все никак разобраться не могу .
Почему потенциал первой пластины равен разности потенциалов между пластинами 1 и 2 деленный пополам да еще со знаком минус и к этому мы прибавляем разность потенциалов между пластинами 2 и 3 и тоже делим пополам?
marsht писал(а):
Да, это Квант №3 1999 год. "Заряженные частицы и поля".
1) Отличная статья Можаева! Надо же, стал забывать... В свое время все статьи Можаева читал... Перечитал статью внимательнее. Показалось, что все четко написано, и мне будет трудно объяснить задачу лучше, чем это сделал великолепный педагог Можаев.
marsht писал(а):
Получается, что можно записать: `varphi_(12)=mathcal(E)_1`, и `varphi_(23)=mathcal(E)_1-mathcal(E)_2`
Нет!
Подробности:
Представьте, что сетки имеют малую, но конечную толщину. Сетки 1 и 2 образуют конденсатор емкости `C=(varepsilon_0 S)/d`, на котором поддерживается постоянная разность потенциалов `mathcal(E)_1` за счет выступившего на правой поверхности 1-ой сетки заряда `-Q_1`, а на левой поверхности 2-ой сетки - заряда `+Q_1`. Очевидно: `Q_1=C mathcal(E)_1`. Аналогично, сетки 2 и 3 образуют конденсатор той же емкости `C`, на котором поддерживается постоянная разность потенциалов `mathcal(E)_1-mathcal(E)_2` за счет выступившего на правой поверхности 2-ой сетки заряда `+Q_2`, а на левой поверхности 3-ой сетки - заряда `-Q_2`. Очевидно: `Q_2=C (mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)`. P.S. См. обсуждение распределений зарядов на параллельных пластинах в теме: http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=184&t=13611&start=0
Введенные в статье обозначения: `varphi_(12) -= varphi_(12)(vec r)` - это потенциал поля (функция точки пространства `vec r`), создаваемого зарядами `-Q_1` и `+Q_1`, т.е. потенциал поля 1-го заряженного конденсатора. Аналогично: `varphi_(23)-=varphi_(23)(vec r)` - это потенциал поля, создаваемого зарядами `+Q_2` и `-Q_2`, т.е. потенциал поля 2-го заряженного конденсатора. При этом надо понимать, что размеры сеток хоть и большие (по сравнению с расстояниями между ними), но конечные. Т.е. система зарядов сеток - открытая, и поле простирается до бесконечности. И это - существенный момент этой задачи.
2) Относительно задачи этой темы:
Подробности:
Вблизи центральной области сеток распределение потенциалов `varphi_(12)(x)` и `varphi_(23)(x)` вдоль линии движения частицы можно приближенно записать: ` (1) qquad qquad varphi_(12)(x)={(-mathcal(E)_1/2, qquad x<=0),(mathcal(E)_1/d (x-d/2), qquad 0 <=x<=d),(+mathcal(E)_1/2, qquad x>=d) :}` ` (2) qquad qquad varphi_(23)(x)={(+(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2 qquad x<=d), ((mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/d (3/2 d -x) qquad d<=x<=2d),(-(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2 qquad x>=2d) :}` Здесь: начало СК помещено на 1-ой сетке, так что сетки имеют координаты: `x_1=0, quad x_2=d, quad x_3=2d`.
Важно: а) формулы (1) и (2) справедливы в области `|x/R| < < 1`, где `R` - характерный поперечный размер сеток. При `|x/R| > > 1` также можно получить приближенные формулы для распределения потенциала, заметив, что система зарядов сеток является дипольной с дипольным электрическим моментом `vec p=(Q_1-Q_2) vec d` (направлен вправо): см. тему для студентов: Поле диполя 2. б) Такой вид формул (1) и (2) обеспечивает согласование с поведением потенциалов на бесконечности, где потенциалы равны нулю. в) Кроме того, `varphi_(12)(x)` принимает нулевое значение на плоскости `x_(12)=d/2`, а `varphi_(23)(x)` - на плоскости `x_(23)=(3d)/2`, т.е. на плоскости симметрии соответствующего конденсатора.
Распределение полного потенциала равно (по принципу суперпозиции потенциала): ` (3) qquad qquad varphi(x)=varphi_(12)(x)+varphi_(23)(x)`, и принимает, в интересующем нас промежутке ` 0 <=x<=d`, вид: ` (4) qquad qquad varphi(x)=mathcal(E)_1/d (x-d/2)+(mathcal(E)_1-mathcal(E)_2)/2` Как видно, функция `varphi(x)` равна нулю в точке `x_0=mathcal(E)_2/mathcal(E)_1 cdot d/2`, которая и является ответом в задаче.
Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 16
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения