Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Физика




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Цепочка конденсаторов (ЗФТШ, 10 кл.)
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2019, 14:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
Эта задача составлена по мотивам задачи из задания ЗФТШ "Постоянный электрический ток" для 10 класса. Представляется интересным один из способов ее решения.
Условие задачи:
Подробности:
    Имеется `n` конденсаторов известной емкости `C_1,C_2,cdots,C_n`. `m` из них (`1<=m <=n`) заряжают до известных напряжений (т.о. известны изначальные напряжения всех конденсаторов `U_1,U_2,cdots,U_n`).
    Конденсаторы соединяют последовательно. Затем свободные концевые провода цепочки конденсаторов замыкают на резистор.
    Найдите:
    а) протекший через резистор заряд `q`;
    б) выделившееся на резисторе количество теплоты `Q`;
    в) энергию `W`, оставшуюся запасенной в конденсаторах к моменту прекращения тока в цепи;
    г) количество решений задачи.
Возможное решение:
Подробности:
Решение этой задачи может быть получено, например , по такому алгоритму:
Вычисляем величину `C` по формуле для последовательно соединенных конденсаторов (т.е. `1/C=1/C_1+1/C_2+cdots+1/C_n`);
Вычисляем величину `U`, складывая изначальные напряжения конденсаторов алгебраически (`U=pm U_1 pm U_2 pm cdots pm U_n`).
Получаем ответы:
а) `q=C|U|`;
б) `Q=(CU^2)/2`;
в) `W=W_0-Q`, где `W_0=sum_(k=1)^n (C_k U_k^2)/2` - суммарная энергия изначально заряженных конденсаторов;
г) количество решений равно `2^(m-1)`.
Изложенный алгоритм решения не совсем очевиден (по крайней мере оказался неожиданным для меня).
Предлагается обосновать этот алгоритм.
Конкретный пример:
Подробности:
Пусть `n=3, m=2`; `C_1=2` мкФ , `C_2=C_3=4` мкФ; `U_1=3` В, `U_2=5` В, `U_3=0` В.
Тогда:
`C=1` мкФ, `|U|={8;2}` В.
И
а) `q={8;2}` мкКл;
б) `Q={32;2}` мкДж;
в) `W_0=59` мкДж и `W={27;57}` мкДж.
г) количество решений равно `2`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Цепочка конденсаторов (ЗФТШ, 10 кл.)
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2019, 22:45 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 апр 2019, 20:58
Сообщений: 2
Эту задачу можно решить другим способом, используя первый и второй законы Кирхгофа.
Из первого закона следует ,что через систему протек заряд `q`. Тогда , используя второй закон Кирхгофа `sum_(k=1)^(n) U_k = (q_1 - q)/ C_1 + (q_2 - q)/ C_2 +ldots+(q_k - q)/ C_k = 0`.
Отсюда следует , что `q_1 / C_1 +q_2 / C_2 +ldots+q_k / C_k = q(1/C_1 +1/C_2 +ldots+1/C_k )`.
Тогда `q = |U|C` , где `|U| = q_1 / C_1 +q_2 / C_2 +ldots+q_k / C_k ` , `1/C = 1/C_1 +1/C_2 +ldots+1/C_k `.
a) `q = UC`;
б) `Q` Найдем из закона сохранение энергии : `W_0 = sum_(k=1)^(n) C_k U_k^2 / 2 = sum_(k=1)^(n) q_k ^2/(2C_k)` - начальная энергия.
`W^' = sum_(k=1)^(n) (q_k -q)^2/(2C_k) = sum_(k=1)^(n) [q_k ^ 2 /(2C_k )-(q_kq)/C_k + q^2/(2C_k)] = sum_(k=1)^(n) q_k ^2/(2C_k) - qsum_(k=1)^(n) q_k /(C_k) + q^2/2sum_(k=1)^(n) 1/C_k=W_0 - [qU - q^2/2C] = W_0 - Q`
Тогда `Q = qU - q^2/(2C) =(CU)^2/2`
в)`W^' = W_0 - Q` следует из б).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Цепочка конденсаторов (ЗФТШ, 10 кл.)
 Сообщение Добавлено: 12 май 2019, 20:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
Dima_tm писал(а):
Подробности:
Эту задачу можно решить другим способом, используя первый и второй законы Кирхгофа.
Из первого закона следует ,что через систему протек заряд `q`. Тогда , используя второй закон Кирхгофа `sum_(k=1)^(n) U_k = (q_1 - q)/ C_1 + (q_2 - q)/ C_2 +ldots+(q_n - q)/ C_n = 0`.
Отсюда следует , что `q_1 / C_1 +q_2 / C_2 +ldots+q_n / C_n = q(1/C_1 +1/C_2 +ldots+1/C_n )`.
Тогда `q = UC` , где `U = q_1 / C_1 +q_2 / C_2 +ldots+q_n / C_n` , `1/C = 1/C_1 +1/C_2 +ldots+1/C_n `.
a) `|q| =|U|C`;
б) `Q` Найдем из закона сохранение энергии : `W_0 = sum_(k=1)^(n) (C_k U_k^2 )/ 2 = sum_(k=1)^(n) q_k ^2/(2C_k)` - начальная энергия.
`W^' = sum_(k=1)^(n) (q_k -q)^2/(2C_k) = sum_(k=1)^(n) [q_k ^ 2 /(2C_k )-(q_k q)/C_k + q^2/(2C_k)] = sum_(k=1)^(n) q_k ^2/(2C_k) - q sum_(k=1)^(n) q_k /(C_k) + q^2/2 sum_(k=1)^(n) 1/C_k=W_0 - [qU - q^2/(2C)] = W_0 - Q`
Тогда `Q = qU - q^2/(2C) =(CU^2)/2`
в)`W^' = W_0 - Q` следует из б).
Спасибо, Дима! Все в основном правильно. Воспользовался твоим текстом, добавил поясняющие предложения, исправил очевидные опечатки.
Подробности:
1) Соединим конденсаторы последовательно в следующем порядке: `C_1,C_2,dots,C_n`, так что `C_1` - самый левый конденсатор в цепочке, а `C_n` - самый правый (очевидно, что последовательность соединения в этой задаче не существенна).
Обозначим исходный заряд левой пластины `k`-го конденсатора (после зарядки) через `q_k`. Тогда заряд правой пластины будет равен `-q_k`, а разность потенциалов между левой и правой пластинами будет равна `U_k=q_k/C_k`.
Заряд `q_k` (а вместе с ним и величина `U_k`) может быть нулевым (для незаряженного конденсатора), положительным либо отрицательным в зависимости от полярности подключения `k`-го конденсатора к цепочке.
Определим величину `U=sum_(k=1)^(n) U_k`, которая есть не что иное, как разность потенциалов на всей цепочке, т.е. разность потенциалов между левой пластиной конденсатора `C_1` и правой пластиной конденсатора `C_n`. Величина `U` также может иметь разный знак, а может оказаться и нулевой.

2) Замыкаем концы цепочки на сопротивление. Тогда произойдет перераспределение зарядов, при этом должны быть выполнены 1-е и 2-е правила Кирхгофа.
Если слева направо через сопротивление перетек заряд `q` (имеет знак в зависимости от знака `U`!), то на левой пластине `k`-го конденсатора останется заряд `q_k^'=q_k-q` (соответственно на правой - `-q_k^'`), а разность потенциалов между левой и правой пластинами станет равной `U_k^'=q_k^'/C_k`.
Тогда , используя второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, будем иметь:
`U^'=sum_(k=1)^n U_k^'= 0 qquad => qquad sum_(k=1)^n q_k / C_k =q sum_(k=1)^n 1 / C_k qquad => qquad U=q/C`. (Здесь введено обозначение `1/C = sum_(k=1)^(n)1/C_k `).

a) Таким образом, заряд, протекший через сопротивление, равен `|q| = C|U|` (нужно дать положительное число);
б) Выделившееся на сопротивлении тепло `Q` найдем из закона сохранения энергии : `Q=-Delta W=W -W'`.
`W= sum_(k=1)^n q_k ^2/(2C_k)` - начальная энергия.
Распишем выражение для конечной энергии цепочки конденсаторов:
`W^' = sum_(k=1)^n (q_k -q)^2/(2C_k) = sum_(k=1)^n [q_k ^ 2 /(2C_k )-(q_k q)/C_k + q^2/(2C_k)] = sum_(k=1)^n q_k ^2/(2C_k) - q sum_(k=1)^n q_k /(C_k) + q^2/2 sum_(k=1)^n 1/C_k=W - q[U - q/(2C)]=W-(qU)/2`.
Тогда
`Q = (qU)/2 =(CU^2)/2`.
в) `W^' = W - Q` , где начальная энергия и выделившееся тепло вычислены в п. б).
г) Если число заряженных конденсаторов равно `m`, то, с учетом 2-х возможностей для полярности подключения каждого заряженного конденсатора, можно составить `2^(m-1)` цепочек, различающихся друг от друга исходным напряжением `|U|`. Т.о. может быть `2^(m-1)` разных решений этой задачи.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: