Зарегистрирован: 26 ноя 2010, 23:55 Сообщений: 1291 Откуда: г. Москва
Формально решение можно начинать с составления уравнений движения грузиков по 2-му закону Ньютона, получить систему уравнений, увидеть характер движения и сделать выводы. Однако перед этим полезно проанализировать движение центров масс левой и правой частей. Без использования формул этот анализ подскажет, какой из грузиков долетит до блока первым.
Пронумеруем грузики. Слева нижний - 1, верхний - 2, справа - 3. Центр масс слева - середина пружинки. Центр масс справа - это сам грузик `2m`. Расстояние между центрами масс `L_0/2`.
На два грузика слева, как на систему из двух тел, действуют сила тяжести `2mg` и сила натяжения нити `T`. Сила упругости является внутренней силой. Заметим, на грузик 3 справа действуют такие же внешние силы. Это значит, что центры масс слева и справа будут двигаться одинаково. При этом, как-бы не перемещались грузики, расстояние расстояние между центрами масс остается постоянным. И тогда грузик 3 никогда не сможет оказаться выше грузика 2. Таким образом, грузик 2 - единственный кандидат на встречу с блоком.
Итак, начало движения: грузик 3 двигается вниз, грузик 2 связан с грузиком 3 и двигается вверх, грузик 1 двигается вниз. В дальнейшем пружинка растягивается, увеличивается сила упругости, тормозятся все без исключения, останавливаются и бегом-бегом в первоначальное положение. Для 2-го этапа нужны уравнения.
Последний раз редактировалось Igor5 15 июн 2018, 01:25, всего редактировалось 1 раз.
Формально решение можно начинать с составления уравнений движения грузиков по 2-му закону Ньютона, получить систему уравнений, увидеть характер движения и сделать выводы. Однако перед этим полезно проанализировать движение центров масс левой и правой частей. Без использования формул этот анализ подскажет, какой из грузиков долетит до блока первым.
Пронумеруем грузики. Слева нижний - 1, верхний - 2, справа - 3. Центр масс слева - середина пружинки. Центр масс справа - это сам грузик `2m`. Расстояние между центрами масс `L_0/2`.
На два грузика слева, как на систему из двух тел, действуют сила тяжести `2mg` и сила натяжения нити `T`. Сила упругости является внутренней силой. Заметим, на грузик 3 справа действуют такие же внешние силы. Это значит, что центры масс слева и справа будут двигаться одинаково. При этом как-бы не перемещались грузики расстояние расстояние между центрами масс остается постоянным. И тогда грузик 3 никогда не сможет оказаться выше грузика 2. Таким образом, грузик 2 - единственный кандидат на встречу с блоком.
Итак, начало движения: грузик 3 двигается вниз, грузик 2 связан с грузиком 3 и двигается вверх, грузик 1 двигается вниз. В дальнейшем пружинка растягивается, увеличивается сила упругости, тормозятся без исключения, останавливаются и бегом-бегом в первоначальное положение. Для 2-го этапа нужны уравнения.
Игорь Иванович, интересная задача, спасибо! Не было времени отписаться ранее, вот образовалось 5 минут. Как-будто получается так: 1) Если `l_0` достаточно большое, то в системе начнутся незатухающие гармонические колебания с периодом `T=pi sqrt((3m)/k)`. При этом груз `2m` и ЦМ системы 2-х остальных грузиков совершают синфазные колебания с одинаковой амплитудой `A=(mg)/(4k)`. 2) Груз 2 (в ваших обозначениях) встретится с блоком, если `l_0 <=2A`. Время до встречи равно `tau=T/(2pi) arccos(1-l_0/A)` , и достигает максимума при `l_0=2A`: `tau_max=T/2=pi/2 sqrt((3m)/k)`. Не ошибся ли я в чем-то?
Здравствуйте, Игорь Иванович ! Извините ,что не писал ранее ,просто выпускные, подготовка и прочее мешали нормально сесть и порешать.
Очень понравилась идея с ц.м (я один момент слегка не понял, но это хочу потом выяснить) Сейчас хочется строго выразить характер движения системы. Буду использовать вашу нумерацию грузов.
1)`{(ma_1=-mg+kx),(ma=T-mg-kx),(-2ma=T-2mg):}` Из этой системы выразим `a,a_1` `a=g/3-(kx)/(3m)` `a_1=-g+(kx)/m` 2)Предположим ,что первый груз движется со скорость `v_1` ,а второй `v` , тогда `v-v_1=dot(l(t))` , где `dot(l(t))` - скорость изменение длины нити `dot(l(t))=dot(x)` Тогда `a-a_1=ddot(x)` `(4g)/3-(4kx)/(3m)=ddot(x)` Получили уравнение колебаний с частотой `omega=sqrt((4k)/(3m))` И получаем зависимость растяжения пружины от времени: `x=(mg)/k(1-cos(omegat))` Из этого уравнения видно,что пружина никогда не сожмётся. 3)Подставим значение x в уравнение `3ma=mg-kx`(разность второго и третьего уравнения данной системы) `3ma=mg-mg(1-cos(omegat))` `a=g/3cos(wt)` Проинтегрируем и найдем скорость `v=g/(3omega)sin(wt)` `x_2=-g/(3omega^2)cos(wt)+const` Возьмем за нулевую координату начальное положение тела и из этого найдем константу `x_2=-(mg)/(4k)cos(wt)+(mg)/(4k)=(mg)/(4k)(1-cos(wt))`- из этого уравнения сразу видно,что второй груз ползет строго вверх на значение `A=(mg)/(2k)`, а потом обратно в начальное положение ,не опускаясь ниже! Значит именно груз 2 коснется блока. 4)`t, l_0` - максимальны тогда ,когда `l_0=(mg)/(2k)` А максимальное время в таком случае `t=pi/omega=pisqrt((3m)/(4k))`
P.s Очень понравилась задачка , еще раз извиняюсь ,что не сразу написал.Конечно же жду следующей. P.p.s Как еще можно решать данные уравнения ,есть какие- то еще способы?
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения