Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Физика » Олимпиадные задачи




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2019, 11:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 136
Уважаемые форумчане! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей, уже долго с ней мучаюсь.


Олимпиада Курчатов по физике, отборочный тур, 9 класс. (полностью варианты заданий опубликованы на официальном сайте олимпиады)

К стене с помощью двух нерастяжимых веревок прижата квадратная доска (см. рисунок). Во сколько раз сила натяжения верхней веревки больше нижней? Коэффициент трения между стенкой и доской равен 0,5.

Ответ: 7

В другом варианте коэффициент трения 0,8, а ответ 19.

После долгих попыток решить эту задачу, подглядела в ответ. Но и это не помогло. Пытаюсь анализировать ответ: понятно, что натяжение верхней нити будет больше, так как на неё приходится основная часть веса доски. Но возьмем, к примеру, пенопластовую доску и будем натягивать веревки так сильно, насколько это возможно. Не думаю, что в этом случае натяжение верхней веревки будет отличаться от натяжения нижней веревки "в разы".

Вся трудность моего решения (попыток решения) этой задачи заключалась в том, чтобы определить точку приложения силы реакции стены. Полагаю, что эта сила распределена по области контакта неравномерно, а именно, в верхней части она больше, поэтому точку приложения равнодействующей реакции стены нельзя считать находящейся по центру стороны квадрата.

Мои попытки найти аналогичную задачу привели меня в задачник Савченко, задача 2.8.32.
Однородный куб с помощью веревки, привязанной к середине его ребра, подвешен к вертикальной стене. При каких значениях угла между веревкой и стенкой куб соприкасается со стенкой всей гранью, если коэффициент трения его о плоскость равен μ?

В этой задаче только одна веревка, верхняя. Решая эту задчу, я рассматривала пограничный случай, когда коэффициент трения минимальный, и куб еле-еле держится. В этом случае можно считать, что практически на всю плоскость грани сила реакции стены уже не действует, и точка приложения силы реакции стены расположена в верхней части области контакта.
В этом случае несложно записать уравнение, составленное исходя из равенства моментов, к примеру, относительно точки крепления веревки к кубу. Задача решается, и получается ответ, данный в задачнике.

После этого я попробовала снова решить задачу из олимпиады, предполагая, что сила реакции стены так же приложена в верхнем углу квадрата, и у меня получился ответ, данный разработчиками! Что-то меня это очень сильно смущает. Очень сомневаюсь, что в случае двух веревок можно так считать.

Буду благодарна за помощь с этой задачей!


Вложения:
Безымянный.png
Безымянный.png [ 17.16 KIB | Просмотров: 757 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 07 мар 2019, 11:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
radix писал(а):
Уважаемые форумчане! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей, уже долго с ней мучаюсь.
Подробности:
Олимпиада Курчатов по физике, отборочный тур, 9 класс. (полностью варианты заданий опубликованы на официальном сайте олимпиады)

К стене с помощью двух нерастяжимых веревок прижата квадратная доска (см. рисунок). Во сколько раз сила натяжения верхней веревки больше нижней? Коэффициент трения между стенкой и доской равен 0,5.

Ответ: 7

В другом варианте коэффициент трения 0,8, а ответ 19.

После долгих попыток решить эту задачу, подглядела в ответ. Но и это не помогло. Пытаюсь анализировать ответ: понятно, что натяжение верхней нити будет больше, так как на неё приходится основная часть веса доски. Но возьмем, к примеру, пенопластовую доску и будем натягивать веревки так сильно, насколько это возможно. Не думаю, что в этом случае натяжение верхней веревки будет отличаться от натяжения нижней веревки "в разы".

Вся трудность моего решения (попыток решения) этой задачи заключалась в том, чтобы определить точку приложения силы реакции стены. Полагаю, что эта сила распределена по области контакта неравномерно, а именно, в верхней части она больше, поэтому точку приложения равнодействующей реакции стены нельзя считать находящейся по центру стороны квадрата.

Мои попытки найти аналогичную задачу привели меня в задачник Савченко, задача 2.8.32.
Однородный куб с помощью веревки, привязанной к середине его ребра, подвешен к вертикальной стене. При каких значениях угла между веревкой и стенкой куб соприкасается со стенкой всей гранью, если коэффициент трения его о плоскость равен μ?

В этой задаче только одна веревка, верхняя. Решая эту задчу, я рассматривала пограничный случай, когда коэффициент трения минимальный, и куб еле-еле держится. В этом случае можно считать, что практически на всю плоскость грани сила реакции стены уже не действует, и точка приложения силы реакции стены расположена в верхней части области контакта.
В этом случае несложно записать уравнение, составленное исходя из равенства моментов, к примеру, относительно точки крепления веревки к кубу. Задача решается, и получается ответ, данный в задачнике.

После этого я попробовала снова решить задачу из олимпиады, предполагая, что сила реакции стены так же приложена в верхнем углу квадрата, и у меня получился ответ, данный разработчиками! Что-то меня это очень сильно смущает. Очень сомневаюсь, что в случае двух веревок можно так считать.

Буду благодарна за помощь с этой задачей!
Уважаемая "radix"! Спасибо за задачку!
Подробности:
1) Показалось, что задача слишком сложна для 9-го класса. И кажется, что ее легче всего решать, опираясь на решение задачи 2.8.32 из Савченко. Кстати, во всех трех изданиях Задачника Савченко ответ к этой задаче приведен с опиской. Правильный ответ: `tg(alpha) >= 1/mu`
2) На рисунке представлено векторное решение задачи. Совокупность трех сил, действующих на кубик, удовлетворяет всем законам статики.
3) Видимо, следует рассказать, как можно рассуждать в этой задаче.
а) Проводим мысленный эксперимент (наверное, нетрудно провести и натурный эксперимент в лаборатории). Вначале пусть стенка гладкая. Тогда легко понять, что в положении равновесия кубик будет опираться на стенку только по ребру `C`, а центр тяжести куба займет низшее возможное положение (ребро `C` также окажется в наинизшем возможном положении).
б) Если есть очень слабое трение, то, опять-таки, кубик будет опираться на стенку только по ребру `C`, грань в своих внутренних точках не будет испытывать давления со стороны стенки, и ребро `C` окажется чуть выше своего положения для случая а).
в) Продолжая мысленно повышать коэффициент трения, приходим к выводу, что существует минимальный коэффициент трения `mu_min`, при котором кубик касается стенки всей гранью (ситуация изображена на рисунке), При этом сила реакции приложена к ребру `C`, а сила трения является максимальной силой трения покоя, т.е. равна `F_{f.s.}=mu_min N`.
4) Итак, пусть коэффициент трения равен минимально возможному для изображенного на рисунке положения равновесия. Тогда однозначно находятся сила натяжения нити, реакция стенки, и сам коэффициент трения:
`T=R=(Mg)/2 * 1/(cos alpha);quad mu_min=ctg\ alpha`.
Вложение:
S_2.8.32.PNG
S_2.8.32.PNG [ 66.98 KIB | Просмотров: 663 ]

5) А теперь представим себе, что в некоторый момент (когда кубик находился в равновесии при минимально возможном коэффициенте трения) коэфф. трения внезапно увеличился до значения `mu_1 > mu_min`.
Вопрос: что стало с кубиком, и как изменились силы `vec T` и `vec R`?
Ответ: Кубик останется в том же положении равновесия (кубик и не заметит, что коэфф. трения вдруг изменился)! Силы также останутся прежними! Просто сила трения покоя перестанет быть максимальной силой трения покоя, а станет удовлетворять строгому неравенству `F_{f.s.}< F_{f.s.max}=mu_1 N`.

6) Теперь, разобравшись полностью с задачей 2.8.32, легко разобраться и с задачей из Курчатовской олимпиады.

В этой задаче угол `alpha=45^@`, и `mu=0.5 < mu_min=ctg(alpha)=1`, т.е. одной верхней нити недостаточно, чтобы удержать кубик у стенки! Нижняя нить нужной длины, натянувшись, компенсирует недостаточный коэфф. трения. При этом сила трения покоя будет максимальной при данном `mu`, и сила реакции `vec R` будет приложена к ребру `C`.
Записав систему 2-х уравнений статики: а) уравнение моментов относительно Ц.Т. кубика (точки О): и б) проекцию суммы сил на горизонталь (сумма равна нулю), и решив эту систему, получаем
Ответ: `T_1/T_2=(mu+3)/(1-mu)=7.`

P.S. Было бы интересно получить решение задачи 2.8.32 в случае `mu < mu_min` в зависимости от параметра задачи - отношения длины ребра куба к длине нити. Что-то у меня даже при `mu =0` получается слишком тяжелая математика (уравнение 4-ой степени. Может, неудачно выбрал независимую переменную? Или ошибся в преобразованиях?)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 08 мар 2019, 20:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
Рассмотрел задачку о равновесии кубика, удерживаемого одной верхней нитью, в случае отсутствия трения.
Подробности:
Находил условие равновесия исходя из минимума потенциальной энергии кубика в поле тяжести. Параметром задачи является отношение длины ребра кубика к длине нити `k=a/L`. Зависимости равновесных углов `alpha` и `beta` от параметра `k` в диапазоне `k in (0;infty)` показаны на рисунке. При `k=1` значения углов равны `alpha=beta=arctan (1/3)~~18.435^@`. При `k->infty` угол `alpha->arctan (1/2)~~26.565^@`, а угол `beta->0^@`. При `k->0` угол `alpha->0^@`, а угол `beta->45^@`.
Вложение:
S_2.8.32(3).png
S_2.8.32(3).png [ 45.4 KIB | Просмотров: 552 ]

Равновесные углы `alpha` и `beta` удовлетворяют системе уравнений (решалась численно):
`{(sin alpha=k sin beta),(2 tan alpha+tan beta=1):}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 10 мар 2019, 13:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
Отредактировал свой предыдущий пост: изменил графики, добавил систему уравнений...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 10 мар 2019, 16:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 136
ar54 писал(а):
6) Теперь, разобравшись полностью с задачей 2.8.32, легко разобраться и с задачей из Курчатовской олимпиады.

В этой задаче угол `alpha=45^@`, и `mu=0.5 < mu_min=ctg(alpha)=1`, т.е. одной верхней нити недостаточно, чтобы удержать кубик у стенки! Нижняя нить нужной длины, натянувшись, компенсирует недостаточный коэфф. трения. При этом сила трения покоя будет максимальной при данном `mu`, и сила реакции `vec R` будет приложена к ребру `C`.
Записав систему 2-х уравнений статики: а) уравнение моментов относительно Ц.Т. кубика (точки О): и б) проекцию суммы сил на горизонталь (сумма равна нулю), и решив эту систему, получаем
Ответ: `T_1/T_2=(mu+3)/(1-mu)=7.`

Добрый день!
Спасибо за ответ!
Но ведь в условии олимпиадной задачи нет указания на то, что натяжение нитей выбрано минимальное из всех возможных. Значит, если мы нити натянем сильнее, чем минимум, необходимый для удержания от соскальзывания, то это не будет противоречить условию.
При этом натяжение нижней нити имеет горизонтальную составляющую, плотно прижимающую куб к стене. Мне кажется, что логично заключить, что сила нормальной реакции стены на этом уровне не будет нулевой.

По поводу задачи из Савченко. (Кстати, да, я не заметила опечатку в ответе! В моем решении была рассмотрена пограничная ситуация, получено выражение tg a = 1/мю. Эх... Неравенствам в физических задачах нужно уделять особое внимание!)
Очень интересный мысленный эксперимент.
Случай с минимально возможным коэффициентом трения мне видится вполне однозначным (я имею в виду точку приложения силы R)
А в случае с большим коэффициентом трения, как мне кажется, очень многое зависит от "истории", то есть от того, как система была приведена в указанное положение. Вы описали один вариант, его (очень условно) я изобразила на рисунке 1. Но ведь возможен (возможен ли?) и другой "граничный" вариант, на рисунке 2. И думаю, между ними много "промежуточных" вариантов, в которых сила реакции стены будет распределена по поверхности контакта.


Вложения:
Безымянный 2.png
Безымянный 2.png [ 5.32 KIB | Просмотров: 537 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Олимпиада Курчатов отбор. статика
 Сообщение Добавлено: 16 мар 2019, 10:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 758
radix писал(а):
...
Но ведь в условии олимпиадной задачи нет указания на то, что натяжение нитей выбрано минимальное из всех возможных. Значит, если мы нити натянем сильнее, чем минимум, необходимый для удержания от соскальзывания, то это не будет противоречить условию.

Если предполагать, что в задаче присутствуем "мы" , натягивающие нити как нам заблагорассудится, то задача становится неопределенной (не имеет однозначного решения, по крайней мере, на школьном уровне). На мой взгляд, для более глубокого понимания, было бы полезно составить схему эксперимента по мотивам этой задачи...
radix писал(а):
...
Вы описали один вариант, его (очень условно) я изобразила на рисунке 1. Но ведь возможен (возможен ли?) и другой "граничный" вариант, на рисунке 2. И думаю, между ними много "промежуточных" вариантов, в которых сила реакции стены будет распределена по поверхности контакта.
Нет, 2-ой вариант невозможен при `mu=0`. В положении равновесия кубика линии действия всех трех сил, действующих на кубик, обязаны пересекаться в одной точке. Осуществимо ли это во 2-м случае?
Заметьте, что я рисовал свой рисунок, используя этот принцип. Вначале нарисовал вертикальную стенку, а затем квадрат. При этом следил, чтобы вершина `C` касалась стенки, а вершина `B` была левее центра тяжести `O`. После этого, используя принцип, однозначно находил направление нити.
Кроме того, вектора всех сил изображал в одном масштабе, чтобы было ясно видно выполнение закона равновесия `M vec g+vec T+vec R=0`.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: