Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Разное




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 11 окт 2017, 14:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1492
Вы бросаете игральную кость до тех пор, пока не выпадет 6. Каково среднее ожидаемое число бросков (включая тот, который дал 6) при условии, что во всех предыдущих бросках выпадали четные числа?

Замечание: что такое условное мат.ожидание или условные вероятности можно и не знать. Просто понимайте задачу в смысле - кидаем кубик до тех пор, пока не выпадет 6. Если все броски в серии - четные числа, то записываем длину серии. Если нет - выкидываем этот эксперимент и приступаем к следующему.

Задача - найти среднее записанных длин.

********************************

Прикол в том, что задачка очень простая, решается тупо в лоб в три строчки.
Но если "включить голову" и попытаться решить ее элегантным обходным маневром - можно легко ошибиться. Мне удалось ошибиться аж три раза :) [прежде чем решил тупо в лоб, а потом узнал про верный "элегантный обходной маневр" ]

***************************

Авторство задачи и источник раскрою чуть позднее, там, где она опубликована, скоро решение будет, так что, чтобы не спойлить, отложу.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 11 окт 2017, 16:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4847
Откуда: Москва
Подробности:
alex123 писал(а):
Вы бросаете игральную кость до тех пор, пока не выпадет 6. Каково среднее ожидаемое число бросков (включая тот, который дал 6) при условии, что во всех предыдущих бросках выпадали четные числа?

Замечание: что такое условное мат.ожидание или условные вероятности можно и не знать. Просто понимайте задачу в смысле - кидаем кубик до тех пор, пока не выпадет 6. Если все броски в серии - четные числа, то записываем длину серии. Если нет - выкидываем этот эксперимент и приступаем к следующему.

Задача - найти среднее записанных длин.

********************************

Прикол в том, что задачка очень простая, решается тупо в лоб в три строчки.
Но если "включить голову" и попытаться решить ее элегантным обходным маневром - можно легко ошибиться. Мне удалось ошибиться аж три раза :) [прежде чем решил тупо в лоб, а потом узнал про верный "элегантный обходной маневр" ]

***************************

Авторство задачи и источник раскрою чуть позднее, там, где она опубликована, скоро решение будет, так что, чтобы не спойлить, отложу.

1. `(sum_(n=0)^(infty) (n+1)/(3^n))/(sum_(n=0)^(infty) 1/(3^n))=3/2.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 11 окт 2017, 17:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1492
OlG писал(а):
Подробности:
1. `(sum_(n=0)^(infty) (n+1)/(3^n))/(sum_(n=0)^(infty) 1/(3^n))=3/2.`




Ну да, именно это и есть решение в лоб [хотя 1/6 лучше было бы не сокращать - для улучшения понимания]. Я же говорю - задачка простая.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 11 окт 2017, 18:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4847
Откуда: Москва
Подробности:
alex123 писал(а):
Ну да, именно это и есть решение в лоб [хотя 1/6 лучше было бы не сокращать - для улучшения понимания]. Я же говорю - задачка простая.

2. До 13-го числа есть еще один день и две ночи.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 13 окт 2017, 04:44 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4847
Откуда: Москва
3. Решение:
Подробности:
Разумеется, эту задачу можно решить с помощью «тяжелой артиллерии» типа
формулы Байеса, но мы покажем очень элегантное и простое решение,
придуманное Полом Каффом.

Пусть мы начинаем бросать кость и записываем результаты в строчку. Если
выпадает нечетное число (1, 3, 5), то объявляем серию бросков неудачной и
переходим на следующую строчку. Как только выпала шестерка — броски
заканчиваются. Средняя длина последней строчки и будет ответом на задачу.

В каждой написанной нами строчке все цифры, кроме последней — двойки и
четверки. Любая из цифр 1, 3, 5, 6 заканчивает строчку, поэтому при каждом
броске вероятность окончания строчки равна `4/6`. Теперь если S — математическое
ожидание длины строки (то, что мы имели в виду, говоря о «среднем ожидаемом
числе бросков»), то S вычисляется из уравнения

`S=4/6*1+2/6(1+S)=1+2/6S`,

откуда сразу находим `S = 1,5`. Смысл этого уравнения такой: с вероятностью `4/6`
результатом броска будет цифра, которая закончит строчку, а с вероятностью `2/6`
строчка продолжится. Но так как продолжение строчки состоит в таком же бросании
кубика, то оно имеет среднюю длину, также равную S, то есть вся строчка, если она
не закончилась сразу, имеет среднюю длину `1 + S`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 13 окт 2017, 04:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4847
Откуда: Москва
4. Послесловие:
Подробности:
Эту забавную головоломку предложил профессор MIT Эльханан Мозель
(Elchanan Mossel). Строго говоря, она не является парадоксом, поскольку
имеет четкое и совершенно строгое решение. Парадоксальность ей придает
только то, что очень многие люди отказываются принимать это решение и
настаивают на своей (ошибочной) версии с ответом 3.

Израильский математик Гиль Калай опубликовал задачу Мозеля в своем
блоге под рубрикой TYI — test your intuition («проверьте свою интуицию»),
предложив читателям блога выбрать один из вариантов ответа. Среди вариантов
предлагались 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2 и 4. Поначалу перевес неправильного ответа
«3» был просто подавляющим — количество выбравших его превышало 77%.
Потом, после того, как в блоге Гиля появились несколько комментариев
известных математиков о том, что задача не столь проста, как кажется на
первый взгляд, результаты голосования чуть-чуть изменились. Однако и
сейчас, на момент публикации Послесловия, на страничке голосования принят
1881 голос, из которых 975 (52%) предпочли вариант «3», а правильный ответ
выбран всего 413 участниками (22%).

Разумеется, это не первая вероятностная задача, в которой интуитивно очевидный
ответ оказывается неверным. Приведу еще несколько примеров таких задач.
Начну с относительно малоизвестной.

Представьте, что в нашем распоряжении есть неограниченный запас белых и
черных шариков и урна, в которой поначалу лежит всего два шарика — черный
и белый. Мы начинаем повторять следующие действия:
1) вытаскиваем из урны случайный шарик;
2) возвращаем его обратно;
3) добавляем в урну еще один шарик того же цвета.
В какой-то момент количество шариков в урне станет равным 1000. Какова
вероятность, что белых из них не менее 800?

Интуиция буквально кричит, что если в начале нам «повезет» и первый вытащенный
шарик окажется белым, то дальше уже белый вытаскивается с вероятностью 2/3, а,
следовательно, на очередном ходу в урне будет уже три белых шарика из четырех,
и так далее. В общем, кажется, что попадание «на край», когда шариков одного
цвета будет существенно больше, чем другого, является очень вероятным
событием, — ну, а в половине таких случаев этот цвет окажется именно белым.

На самом же деле все расклады от 1:999 до 999:1 оказываются равновероятными
(это называется равномерным распределением), поэтому вероятность наступления
события «не менее 800 белых шариков» в точности равна отношению количества
вариантов, в которых таких шариков не менее 800 (то есть 999 − 799 = 200), к
общему количеству равновозможных вариантов (999). Ответ 200/999 настолько
контринтуитивен, что в него просто невозможно поверить, пока не сосчитаешь аккуратно.

Еще один очень простой пример основан на бросании монетки (его часто
называют нетранзитивной игрой Пеннея в честь Уолтера Пеннея, открывшего
эту нетранзитивность в 1969 году).

Алиса и Боб бросают монетку до появления одной из двух комбинаций — «орел,
орел, решка» или «решка, орел, орел». Первая из них (ООР) пусть будет
выигрышем Алисы, а вторая (РОО) — выигрышем Боба. Кто будет выигрывать
чаще, и во сколько раз?

Интуиция говорит, что если сами комбинации равновероятны, то Алиса и Боб
будут выигрывать одинаково часто. Однако это вовсе не так (объяснение см.,
например, в статье «Лучшее пари для простаков», в которой приведены
вероятности выигрыша для этой и других подобных игр). А в рассказе Сергея
Мельникова «Прыжок через козла» описан случай, когда студенты-математики
играют в эту игру со своим преподавателем физкультуры, чтобы получить у него
зачет.

Пожалуй, еще более известным является «парадокс двух детей»:

У мистера Смита два ребенка, по крайней мере один из которых — мальчик. Чему
равна вероятность того, что оба его ребенка — мальчики?

Правильным ответом на него обычно считается 1/3 (а не интуитивно
напрашивающийся ответ 1/2), хотя на самом деле все немного сложнее, потому
что у этой задачи нет однозначно понимаемой постановки. В частности, непонятно,
как именно «случайно» выбирается один из детей Смита. Если мистер Смит выбирает
одного из своих детей (старшего или младшего) с помощью подбрасывания монетки,
а затем просто сообщает нам его пол при помощи словесной конструкции «по
крайней мере один из моих детей — {мальчик/девочка}», то интуиция нас не
обманывает: вероятность того, что пол другого ребенка будет таким же, строго
равна 1/2.

Еще одной контринтуитивной вероятностной задаче была посвящена прошлогодняя
задача «Игра в кости». Ну и, безусловно, в этом же ряду одно из почетных мест
занимает задача Монти Холла, которой была посвящена одна из первых статей в
задачном разделе на «Элементах».

5. ТЫЦ.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Симпатичная задачка
 Сообщение Добавлено: 13 окт 2017, 13:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1492
Источник не раскрываю, так как это уже сделал OIG.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: