Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Разное




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 07 май 2019, 09:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 май 2018, 09:19
Сообщений: 6
Незнайка написал на доске 20 различных натуральных чисел и утверждает, что какое бы число он ни стёр, оставшиеся числа можно разбить на две группы, суммы чисел в которых одинаковы. Не напутал ли что-нибудь Незнайка?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 07 май 2019, 15:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1784
artemaxtykostinvdc писал(а):
Незнайка написал на доске 20 различных натуральных чисел и утверждает, что какое бы число он ни стёр, оставшиеся числа можно разбить на две группы, суммы чисел в которых одинаковы. Не напутал ли что-нибудь Незнайка?


Если такие числа существуют, то:

1.
Подробности:
Все они одной четности
;
2.
Подробности:
Эта четность совпадает с четностью суммы
;
3.
Подробности:
Если они все четные, то можно предъявить другой набор, где они все нечетные
;
4.
Подробности:
Сумма четного числа нечетных чисел четна


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 11 май 2019, 09:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 май 2018, 09:19
Сообщений: 6
alex123 писал(а):
artemaxtykostinvdc писал(а):
Незнайка написал на доске 20 различных натуральных чисел и утверждает, что какое бы число он ни стёр, оставшиеся числа можно разбить на две группы, суммы чисел в которых одинаковы. Не напутал ли что-нибудь Незнайка?


Если такие числа существуют, то:

1.
Подробности:
Все они одной четности
;
2.
Подробности:
Эта четность совпадает с четностью суммы
;
3.
Подробности:
Если они все четные, то можно предъявить другой набор, где они все нечетные
;
4.
Подробности:
Сумма четного числа нечетных чисел четна


Спасибо за ответ, но как-то не понятно. А почему они все одинаковой чётности? И если они все четные, то какой можно предъявить другой набор, где они все нечетные?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 13 май 2019, 00:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1784
artemaxtykostinvdc писал(а):

Спасибо за ответ, но как-то не понятно. А почему они все одинаковой чётности? И если они все четные, то какой можно предъявить другой набор, где они все нечетные?


Так подумайте немного самостоятельно. Решить задачу за вас от-и-до было бы неправильно.

К слову:
Подробности:
`n` и `n+2k` всегда одной четности :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 14 май 2019, 09:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 май 2018, 09:19
Сообщений: 6
alex123 писал(а):
artemaxtykostinvdc писал(а):

Спасибо за ответ, но как-то не понятно. А почему они все одинаковой чётности? И если они все четные, то какой можно предъявить другой набор, где они все нечетные?


Так подумайте немного самостоятельно. Решить задачу за вас от-и-до было бы неправильно.

К слову:
Подробности:
`n` и `n+2k` всегда одной четности :)


Да, теперь это понятно. То есть если найдётся хотя бы одно чётное число, то сумма всех чисел чётная. И наоборот, если есть хотя бы одно нечётное число, то сумма всех чисел нечётная. Поэтому либо всё числа чётные, либо они все нечётные.
Остался только вопрос, как же сделать из подходящего набора чётных чисел подходящий набор нечётных?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 14 май 2019, 14:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1784
artemaxtykostinvdc писал(а):
Да, теперь это понятно. То есть если найдётся хотя бы одно чётное число, то сумма всех чисел чётная. И наоборот, если есть хотя бы одно нечётное число, то сумма всех чисел нечётная. Поэтому либо всё числа чётные, либо они все нечётные.
Остался только вопрос, как же сделать из подходящего набора чётных чисел подходящий набор нечётных?


Поздравляю!

Но не понимаю, почему бы не подумать сразу над двумя вопросами, а не решать их поодиночке :)

Попробуйте, все же, не заглядывая в подсказки.

И вообще, на будущее - хотите здесь что-то спросить - предъявите свои попытки решения.

Подсказка:
Подробности:
1. Если с подходящим набором произвести простое арифметическое действие, то новый набор тоже будет подходящим.

Подробности:
2. Если действие не поможет - его можно провести несколько раз, до победного конца.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 15 май 2019, 06:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 май 2018, 09:19
Сообщений: 6
alex123 писал(а):
artemaxtykostinvdc писал(а):
Да, теперь это понятно. То есть если найдётся хотя бы одно чётное число, то сумма всех чисел чётная. И наоборот, если есть хотя бы одно нечётное число, то сумма всех чисел нечётная. Поэтому либо всё числа чётные, либо они все нечётные.
Остался только вопрос, как же сделать из подходящего набора чётных чисел подходящий набор нечётных?


Поздравляю!

Но не понимаю, почему бы не подумать сразу над двумя вопросами, а не решать их поодиночке :)

Попробуйте, все же, не заглядывая в подсказки.

И вообще, на будущее - хотите здесь что-то спросить - предъявите свои попытки решения.

Подсказка:
Подробности:
1. Если с подходящим набором произвести простое арифметическое действие, то новый набор тоже будет подходящим.

Подробности:
2. Если действие не поможет - его можно провести несколько раз, до победного конца.


Спасибо за пояснения. Теперь я вроде бы наконец понял, что Вы имеете в виду. Каждое число в подходящем наборе чётных чисел можно поделить на 2. Это не изменит разбивку на подгруппы для каждого удалённого числа. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не появится хотя бы одно нечётное. Но если есть хотя бы одно нечётное, то все числа должны быть нечётными. То есть получили подходящий набор из всех нечётных чисел. Но всех нечётных чисел быть не может, потому что при удалении любого нечётного числа остаётся 19 нечётных чисел. Их сумма нечётна, поэтому разбить их на две подгруппы с одинаковыми суммами уже не получится.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 15 май 2019, 09:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1784
artemaxtykostinvdc писал(а):

Спасибо за пояснения.


А теперь бонус-трек.

Во-первых, можно снять требование натуральности. Пусть числа будут действительные или комплексные - ничего не поменяется.

Во-вторых, требование "все числа различны" тоже можно снять. И заменить его на "есть отличные от нуля".


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 15 май 2019, 20:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 421
alex123 писал(а):
А теперь бонус-трек.

Во-первых, можно снять требование натуральности. Пусть числа будут действительные или комплексные - ничего не поменяется.

Во-вторых, требование "все числа различны" тоже можно снять. И заменить его на "есть отличные от нуля".

А все потому, что матрица четного порядка с нулями на главной диагонали и $\pm 1$ на остальных местах является невырожденной (ибо ее определитель над полем из двух элементов равен единице).

Такими задачами я пытался (безуспешно) завлечь первокурсников заниматься линейной алгеброй. Была в моем списке и такая задача (еще один бонус-трек):

В стаде 101 корова. Если увести любую одну корову, то оставшихся можно разделить на две части по 50 коров в каждой так, что суммарный вес коров первой части будет равен суммарному весу коров второй части. Докажите, что все коровы весят одинаково.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с набором чисел
 Сообщение Добавлено: 15 май 2019, 22:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1784
nnosipov писал(а):
А все потому, что матрица четного порядка с нулями на главной диагонали и $\pm 1$ на остальных местах является невырожденной (ибо ее определитель над полем из двух элементов равен единице).



Это верно, но все тоже самое можно легко доказать элементарными школьными методами без привлечения "высокой теории". Потому и список полей в бонус-треке искусственно ограничен до тех, что известны любому школьнику.

Ведь наш визави, надо полагать, школьник.

А почему автор [кстати - уважаемый OIG мог бы сказать, откуда задача и кто автор :) ] задачи ввел натуральность и различность - загадка. То ли не хотел нагружать несущественными техническими деталями; то ли имел в виду какое-то другое доказательство, где ограничения используются; то ли просто плохо понимает задачу :)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: