Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ] На страницу 1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 29 окт 2011, 21:33 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Здравствуйте уважаемые участники. Столкнулся с следующей полезной задачкой, как мне показалось.
К сожалению дословного условия не могу написать, но суть в следующем:
Квадратный трехчлен `f(x)=ax^2+bx+c` при `x in[0;1]` удовлетворяет условию `|f(x)|<=1`. Доказать, что `|f^'(0)|<=8`.

Подробности:
Конечно, из условия `|f(x)|<=1` следует `{(2ax+b<=8),(2ax+b>=-8):}`. Но дальше мысли, лезут не очень приятные.

Спасибо.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 02:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32
Сообщений: 395
Alek писал(а):
Здравствуйте уважаемые участники. Столкнулся с следующей полезной задачкой, как мне показалось.
К сожалению дословного условия не могу написать, но суть в следующем:
Квадратный трехчлен `f(x)=ax^2+bx+c` при `x in[0;1]` удовлетворяет условию `|f(x)|<=1`. Доказать, что `|f^'(0)|<=8`.

Подробности:
Конечно, из условия `|f(x)|<=1` следует `{(2ax+b<=8),(2ax+b>=-8):}`. Но дальше мысли, лезут не очень приятные.

Спасибо.

Это не совсем верно.
Из условия следует что `x in[0;1] => f(x) in [c;a+b+c]` и что `f(x) in [-1;1]` а также что `b in [-8;8]`
Вообщем нужно доказать что угол наклона между касательной и параболой в точке `x_0 = 0` не может превышать 83 градуса. Так как `k = tg(x) <= 8`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 02:42 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32
Сообщений: 395
Что-то здесь не так возмем например функцию `f(x) = x^2+20x+1` где `a=1,b=20,c=1`
Явно `|f'(0)| = 20 > 8` ...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 08:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2321
Откуда: Саранск
Эта функция не удовлетворяет условию

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 09:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 928
Откуда: Казань
Alek писал(а):
Квадратный трехчлен `f(x)=ax^2+bx+c` при `x in[0;1]` удовлетворяет условию `|f(x)|<=1`. Доказать, что `|f^'(0)|<=8`. Спасибо.

Неравенство Маркова. Если многочлен `P(x)` степени не выше `n` на отрезке `[a, b]` удовлетворяет неравенству `|P(x)| <= M`, то на том же отрезке `|P'(x)| <= (2Mn^2)/(b-a)`.
(См., например, И. П. Натансон. Конструктивная теория функций).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 15:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Всем большое спасибо.
Благодарю.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 16:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32
Сообщений: 395
scorpion писал(а):
Эта функция не удовлетворяет условию

Почему не удовлетворяет? Ведь при `x=0 , f(x)=1`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2011, 17:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2650
Откуда: Москва
Bob писал(а):
scorpion писал(а):
Эта функция не удовлетворяет условию

Почему не удовлетворяет? Ведь при `x=0 , f(x)=1`

а при `x=1/2 , f(x)=11(1)/4>1`

_________________
Бойтесь своих желаний — они имеют свойство сбываться


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 01 ноя 2011, 15:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Цитата:
="Марина"
а при `x=1/2 , f(x)=11(1)/4>1`


Да, но при таком значении(плюс еще значения параметров `a,b and c`) полученная функция не удовлетворяет условию `|f(x)|<=1`. А это важно!

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательство
 Сообщение Добавлено: 01 ноя 2011, 16:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2650
Откуда: Москва
Alek писал(а):
Цитата:
="Марина"
а при `x=1/2 , f(x)=11(1)/4>1`


Да, но при таком значении(плюс еще значения параметров `a,b and c`) полученная функция не удовлетворяет условию `|f(x)|<=1`. А это важно!


Так я как раз и объяснила Bob'y почему его функция `f(x) = x^2+20x+1` где `a=1,b=20,c=1` не удовлетворяет условию.

_________________
Бойтесь своих желаний — они имеют свойство сбываться


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ] На страницу 1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron