Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство
 Сообщение Добавлено: 25 ноя 2013, 16:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июл 2013, 21:44
Сообщений: 16
Доказать неравенство
`(({x}^2)/y)+(([x]^2)/z)+(({y}^2)/z)+(([y]^2)/x)+(({z}^2)/x)+(([z]^2)/y)>=(3(x^2+y^2+z^2))/(2(x+y+z))` где `y>0, x>0, z>0`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство
 Сообщение Добавлено: 11 дек 2013, 12:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4916
Откуда: Санкт-Петербург
aaalex002 писал(а):
Доказать неравенство
`(({x}^2)/y)+(([x]^2)/z)+(({y}^2)/z)+(([y]^2)/x)+(({z}^2)/x)+(([z]^2)/y)>=(3(x^2+y^2+z^2))/(2(x+y+z))` где `y>0, x>0, z>0`

Сделаем замену `[x]=x-{x}`. Тогда `{x}^2/y+[x]^2/z={x}^2/y+(x-{x})^2/z={x}^2/y+{x}^2/z-2(x{x})/z+x^2/z=({x}sqrt((y+z)/(yz)))^2-2({x}sqrt((y+z)/(yz)))x/(zsqrt((y+z)/(yz)))+(x^2y)/(z(y+z))-(x^2y)/(z(y+z))+x^2/z=({x}sqrt((y+z)/(yz))-xsqrt(y/(z(y+z))))^2+x^2/(y+z)`. Аналогично `{y}^2/z+[y]^2/x=({y}sqrt((x+z)/(xz))-ysqrt(z/(x(x+z))))^2+y^2/(x+z)`и `{z}^2/x+[z]^2/y=({z}sqrt((x+y)/(xy))-zsqrt(x/(y(x+y))))^2+z^2/(x+y)`.
Докажем, что `x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)-(3(x^2+y^2+z^2))/(2(x+y+z))>=0`.
Раскрывая скобки и приводя подобные получим `2x^5+2y^5+2z^5++x^4y+x^4z+y^4x+y^4z+z^4x+z^4-x^3y^2-x^3z^2-y^3x^2-y^3z^2-z^3x^2-z^3y^2-2x^2y^2z-2x^2yz^2-2xy^2z^2=x^3(x^2-y^2)+x^3(x^2-z^2)+y^3(y^2-x^2)+y^3(y^2-z^2)+z^3(z^2-x^2)+z^3(z^2-y^2)+x(y^2-z^2)^2+y(x^2-z^2)^2+z(x^2-y^2)^2`. Учитаваю симметрию можно предположить , что `x>=y>=z`.Группируя последнее выражение, получим `(x^2-z^2)(x^3-z^3)+(x^2-y^2)(x^3-y^3)+(y^2-z^2)(y^3-z^3)+x(y^2-z^2)^2+y(x^2-z^2)^2+z(x^2-y^2)^2>=0`. Неравенство доказано.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Неравенство


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: