|
Автор |
Сообщение |
Alek
|
Заголовок сообщения: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 09:09 |
|
Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57 Сообщений: 1653 Откуда: Татарстан, Красноярск
|
Продолжение темы: Подготовка.
_________________ Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.
|
|
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 15:04 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
Чтобы жизнь не казалась мёдом: Вложение:
Тих1 1.jpg [ 275.43 KIB | Просмотров: 12981 ]
Вложение:
Тих2.jpg [ 107.11 KIB | Просмотров: 12981 ]
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 16:55 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
Умножая числитель и знаменатель первого уравнения на $x+\sqrt{x^2-y^2}$, убеждаемся в том, что $x\ge 0$. Второе уравнение показывает, что $x,y$ - числа одного знака. Очевидно, $x\neq 0, y\neq 0$. Введем новые переменные $a=1/x, b=1/y$. Тогда второе уравнение системы примет вид $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b(a+1)}{a(b-1)}}$. После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения, получим соотношение $b^2-a^2=a+b$. Следовательно, $b-a=1$ или $b=a+1$.
Относительно новых неизвестных первое уравнение принимает вид $\frac{b-\sqrt{a+b}}{b+\sqrt{a+b}}=\frac{1}{a}$. Умножая числитель и знаменатель этого уравнения на $b-\sqrt{a+b}$, а затем на $b+\sqrt{a+b}$, получим сначала $(b-\sqrt{a+b})^2=\frac{b^2-a-b}{a}=\frac{(a+1)^2-a-a-1}{a}=a$, а затем $ (b+\sqrt{a+b})^2=a^3$. Складывая последние соотношения, получим уравнение относительно $a$: $a^3-2a^2-7a-4=0$. Это кубическое уравнение имеет корень $4$ и двукратный корень $-1$. При $a=4$ получаем, как показывает проверка, решение исходного уравнения $x=1/4,y=1/5$. Значение $a=-1$ не ведет к решениям, т.к. $x>0$.
|
|
|
|
|
PeLLIaTeJlb
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 16:58 |
|
Зарегистрирован: 11 апр 2011, 13:38 Сообщений: 186
|
OlG писал(а): Чтобы жизнь не казалась мёдом: Вложение: Тих2.jpg Ответ такой?: `{(x_1=1/4),(y_1=1/5):}` `{(x_2=1),(y_2=-1):}`
_________________
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 17:42 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
scorpion писал(а): Хороший задач! Среднее арифметическое и среднее геометрическое рулят! Alek писал(а): PeLLIaTeJlb писал(а): мммм ну корень `x=2` я нашел подбором ) ммм, а дальше просто доказать, что в ответ идет не промежуток, а 1 корень) Подбор, не есть гуд. Если все перекинуть влево, то получим уравнение `f(x)>=0`. Наибольшее значение `f(x)` достигается в точке `x=0`, в данной точке `f(x)=0` - что гуд. Но особенный интерес представляет уравнение `f^'(x)=0`. Я еще сним попробую повозиться. Пару часиков посидели, но по душам так и не поговорили. Попробую еще посидеть, может быть, что нибудь получится. Исходное неравенство можно представить в виде $\frac{2[(x+2)^{15}]^{\frac{1}{30}}+3[(x+6)^{10}]^{\frac{1}{30}}}{5}\le [(x+2)(x+6)]^{\frac{1}{5}} $. Отсюда и из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел следует, что искомое решение обращает неравенство в равенство. Известно, что равенство среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел достигается только в случае равенства всех слагаемых. Возводя равенство $(x+2)^{1/2}=(x+6)^{1/3}$ в шестую степень, находим подходящий корень $x=2$. Других корней последнее кубическое уравнение не имеет.
|
|
|
|
|
Alek
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 17:46 |
|
Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57 Сообщений: 1653 Откуда: Татарстан, Красноярск
|
MathUser писал(а): На это приятно смотреть. Спасибо.
_________________ Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.
|
|
|
|
|
PeLLIaTeJlb
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 17:54 |
|
Зарегистрирован: 11 апр 2011, 13:38 Сообщений: 186
|
MathUser писал(а): Исходное неравенство можно представить в виде $\frac{2[(x+2)^{15}]^{\frac{1}{30}}+3[(x+6)^{10}]^{\frac{1}{30}}}{5}\le [(x+2)(x+6)]^{\frac{1}{5}} $.
Отсюда и из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел следует, что искомое решение обращает неравенство в равенство. Известно, что равенство среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел достигается только в случае равенства всех слагаемых. Возводя равенство $(x+2)^{1/2}=(x+6)^{1/3}$ в шестую степень, находим подходящий корень $x=2$. Других корней последнее кубическое уравнение не имеет.
_________________
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 18:34 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
PeLLIaTeJlb писал(а): OlG писал(а): Чтобы жизнь не казалась мёдом: Вложение: Тих2.jpg Ответ такой?: `{(x_1=1/4),(y_1=1/5):}` `{(x_2=1),(y_2=-1):}` Из первого уравнения легко получается что `x>0`. Из этого неравенства и второго уравнения следует что и `y>0`. Ну и проверкой легко проверяется, что вторая пара не является решением.
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 19:19 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
MathUser писал(а): Умножая числитель и знаменатель первого уравнения на $x+\sqrt{x^2-y^2}$, убеждаемся в том, что $x\ge 0$. Второе уравнение показывает, что $x,y$ - числа одного знака. Очевидно, $x\neq 0, y\neq 0$. Введем новые переменные $a=1/x, b=1/y$. Тогда второе уравнение системы примет вид $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b(a+1)}{a(b-1)}}$. После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения, получим соотношение $b^2-a^2=a+b$. Следовательно, $b-a=1$ или $b=a+1$.
Относительно новых неизвестных первое уравнение принимает вид $\frac{b-\sqrt{a+b}}{b+\sqrt{a+b}}=\frac{1}{a}$. Умножая числитель и знаменатель этого уравнения на $b-\sqrt{a+b}$, а затем на $b+\sqrt{a+b}$, получим сначала $(b-\sqrt{a+b})^2=\frac{b^2-a-b}{a}=\frac{(a+1)^2-a-a-1}{a}=a$, а затем $ (b+\sqrt{a+b})^2=a^3$. Складывая последние соотношения, получим уравнение относительно $a$: $a^3-2a^2-7a-4=0$. Это кубическое уравнение имеет корень $4$ и двукратный корень $-1$. При $a=4$ получаем, как показывает проверка, решение исходного уравнения $x=1/4,y=1/5$. Значение $a=-1$ не ведет к решениям, т.к. $x>0$. Прежде чем выкладывать примеры - я их сам решаю. Нерешенные примеры не выкладываю. Замена `а` и `в`, `b-a = 1` - это все то же самое. Концовка была другой и, соответственно кубическое уравнение решать не пришлось. $\frac{a+1-\sqrt{2a+1}}{a+1+\sqrt{2a+1}}=\frac{1}{a}$. Т.к. ${a+1-\sqrt{2a+1}}\neq0$, домножил числитель и знаменатель левой части на `a+1-sqrt(2a+1)`. Получил уравнение: `(a+1-sqrt(2a+1))^2=a <=> a+1-sqrt(2a+1)=sqrta`. Далее `v=sqrt(2a+1); u=sqrta`. Получил систему: `{(v+u=a+1), (v^2-u^2=1),(a>0):}<=>{(2v=a+2), (2u=a),(a>0):}<=>a=4; b=5<=>x=1/4; y=1/5`.
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2 Добавлено: 27 июн 2011, 19:28 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
МММ:
`4x^3+x^2-4x-1+(4x^2-x-5)sqrt(x^2+x+1)=0`
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
|
|
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1 |
|
|
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|
|