Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 09:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Продолжение темы: Подготовка.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 15:04 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6063
Откуда: Москва
Чтобы жизнь не казалась мёдом:

Вложение:
Тих1 1.jpg
Тих1 1.jpg [ 275.43 KIB | Просмотров: 4566 ]


Вложение:
Тих2.jpg
Тих2.jpg [ 107.11 KIB | Просмотров: 4566 ]

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 16:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 648
Умножая числитель и знаменатель первого уравнения на $x+\sqrt{x^2-y^2}$, убеждаемся в том, что $x\ge 0$. Второе уравнение показывает, что $x,y$ - числа одного знака. Очевидно, $x\neq 0, y\neq 0$.

Введем новые переменные $a=1/x, b=1/y$. Тогда второе уравнение системы примет вид $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b(a+1)}{a(b-1)}}$. После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения, получим соотношение $b^2-a^2=a+b$. Следовательно, $b-a=1$ или $b=a+1$.

Относительно новых неизвестных первое уравнение принимает вид $\frac{b-\sqrt{a+b}}{b+\sqrt{a+b}}=\frac{1}{a}$. Умножая числитель и знаменатель этого уравнения на $b-\sqrt{a+b}$, а затем на $b+\sqrt{a+b}$, получим сначала $(b-\sqrt{a+b})^2=\frac{b^2-a-b}{a}=\frac{(a+1)^2-a-a-1}{a}=a$, а затем $ (b+\sqrt{a+b})^2=a^3$. Складывая последние соотношения, получим уравнение относительно $a$: $a^3-2a^2-7a-4=0$. Это кубическое уравнение имеет корень $4$ и двукратный корень $-1$. При $a=4$ получаем, как показывает проверка, решение исходного уравнения $x=1/4,y=1/5$. Значение $a=-1$ не ведет к решениям, т.к. $x>0$.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 16:58 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2011, 13:38
Сообщений: 186
OlG писал(а):
Чтобы жизнь не казалась мёдом:
Вложение:
Тих2.jpg


Ответ такой?:
`{(x_1=1/4),(y_1=1/5):}`

`{(x_2=1),(y_2=-1):}`

_________________
Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 17:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 648
scorpion писал(а):
Хороший задач! Среднее арифметическое и среднее геометрическое рулят! :D

Alek писал(а):
PeLLIaTeJlb писал(а):
мммм ну корень `x=2` я нашел подбором ) ммм, а дальше просто доказать, что в ответ идет не промежуток, а 1 корень)


Подбор, не есть гуд. :D
Если все перекинуть влево, то получим уравнение `f(x)>=0`. Наибольшее значение `f(x)` достигается в точке `x=0`, в данной точке `f(x)=0` - что гуд.
Но особенный интерес представляет уравнение `f^'(x)=0`. Я еще сним попробую повозиться. Пару часиков посидели, но по душам так и не поговорили. Попробую еще посидеть, может быть, что нибудь получится.


Исходное неравенство можно представить в виде $\frac{2[(x+2)^{15}]^{\frac{1}{30}}+3[(x+6)^{10}]^{\frac{1}{30}}}{5}\le [(x+2)(x+6)]^{\frac{1}{5}} $.

Отсюда и из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел следует, что искомое решение обращает неравенство в равенство. Известно, что равенство среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел достигается только в случае равенства всех слагаемых. Возводя равенство $(x+2)^{1/2}=(x+6)^{1/3}$ в шестую степень, находим подходящий корень $x=2$. Других корней последнее кубическое уравнение не имеет.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 17:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
MathUser писал(а):
Подробности:
Исходное неравенство можно представить в виде $\frac{2[(x+2)^{15}]^{\frac{1}{30}}+3[(x+6)^{10}]^{\frac{1}{30}}}{5}\le [(x+2)(x+6)]^{\frac{1}{5}} $.

Отсюда и из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел следует, что искомое решение обращает неравенство в равенство. Известно, что равенство среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел достигается только в случае равенства всех слагаемых. Возводя равенство $(x+2)^{1/2}=(x+6)^{1/3}$ в шестую степень, находим подходящий корень $x=2$. Других корней последнее кубическое уравнение не имеет.

На это приятно смотреть. :ymdaydream:
Спасибо.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 17:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2011, 13:38
Сообщений: 186
MathUser писал(а):
Исходное неравенство можно представить в виде $\frac{2[(x+2)^{15}]^{\frac{1}{30}}+3[(x+6)^{10}]^{\frac{1}{30}}}{5}\le [(x+2)(x+6)]^{\frac{1}{5}} $.

Отсюда и из неравенства среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел следует, что искомое решение обращает неравенство в равенство. Известно, что равенство среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел достигается только в случае равенства всех слагаемых. Возводя равенство $(x+2)^{1/2}=(x+6)^{1/3}$ в шестую степень, находим подходящий корень $x=2$. Других корней последнее кубическое уравнение не имеет.

:ymapplause: :ymapplause: :ymapplause:

_________________
Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 18:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6063
Откуда: Москва
PeLLIaTeJlb писал(а):
OlG писал(а):
Чтобы жизнь не казалась мёдом:
Вложение:
Тих2.jpg


Ответ такой?:
`{(x_1=1/4),(y_1=1/5):}`

`{(x_2=1),(y_2=-1):}`



Из первого уравнения легко получается что `x>0`. Из этого неравенства
и второго уравнения следует что и `y>0`. Ну и проверкой легко проверяется,
что вторая пара не является решением.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 19:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6063
Откуда: Москва
MathUser писал(а):
Умножая числитель и знаменатель первого уравнения на $x+\sqrt{x^2-y^2}$, убеждаемся в том, что $x\ge 0$. Второе уравнение показывает, что $x,y$ - числа одного знака. Очевидно, $x\neq 0, y\neq 0$.

Введем новые переменные $a=1/x, b=1/y$. Тогда второе уравнение системы примет вид $\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b(a+1)}{a(b-1)}}$. После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения, получим соотношение $b^2-a^2=a+b$. Следовательно, $b-a=1$ или $b=a+1$.

Относительно новых неизвестных первое уравнение принимает вид $\frac{b-\sqrt{a+b}}{b+\sqrt{a+b}}=\frac{1}{a}$. Умножая числитель и знаменатель этого уравнения на $b-\sqrt{a+b}$, а затем на $b+\sqrt{a+b}$, получим сначала $(b-\sqrt{a+b})^2=\frac{b^2-a-b}{a}=\frac{(a+1)^2-a-a-1}{a}=a$, а затем $ (b+\sqrt{a+b})^2=a^3$. Складывая последние соотношения, получим уравнение относительно $a$: $a^3-2a^2-7a-4=0$. Это кубическое уравнение имеет корень $4$ и двукратный корень $-1$. При $a=4$ получаем, как показывает проверка, решение исходного уравнения $x=1/4,y=1/5$. Значение $a=-1$ не ведет к решениям, т.к. $x>0$.


Прежде чем выкладывать примеры - я их сам решаю. Нерешенные примеры не выкладываю.
Замена `а` и `в`, `b-a = 1` - это все то же самое. Концовка была другой и, соответственно кубическое
уравнение решать не пришлось. $\frac{a+1-\sqrt{2a+1}}{a+1+\sqrt{2a+1}}=\frac{1}{a}$. Т.к. ${a+1-\sqrt{2a+1}}\neq0$,
домножил числитель и знаменатель левой части на `a+1-sqrt(2a+1)`.
Получил уравнение: `(a+1-sqrt(2a+1))^2=a <=> a+1-sqrt(2a+1)=sqrta`.
Далее `v=sqrt(2a+1); u=sqrta`.
Получил систему: `{(v+u=a+1), (v^2-u^2=1),(a>0):}<=>{(2v=a+2), (2u=a),(a>0):}<=>a=4; b=5<=>x=1/4; y=1/5`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 27 июн 2011, 19:28 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6063
Откуда: Москва
МММ:

`4x^3+x^2-4x-1+(4x^2-x-5)sqrt(x^2+x+1)=0`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 32 [ Сообщений: 317 ] На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 32  След.




Список форумов » Просмотр темы - Подготовка 2


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: