Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 06 июл 2011, 16:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июн 2010, 09:30
Сообщений: 268
Однако при использовании тригонометрической замены, например, `x=cost`, `t in [0;pi]`обоснование ограниченности корней необходимо до замены. Зато уравнение простейшее: `cost=cos(27t)`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 06 июл 2011, 20:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1675
VEk писал(а):
Однако при использовании тригонометрической замены, например, `x=cost`, `t in [0;pi]`обоснование ограниченности корней необходимо до замены. Зато уравнение простейшее: `cost=cos(27t)`.

Не сразу увидел формулу для косинуса утроенного угла:
`cos3t=4cos^3t-3cost=f(cost)`, где `f(x)=4x^3-3x`, и тогда
`x=f(f(f(x)))` сводится к уравнению `cost=cos27t`на промежутке `[0;pi]` c двумя сериями корней `x=cos(pin/13),n=0,1,...,13` и `x=cos(pim/14),m=0,1,...,14` (всего 27 корней с учетом совпадающих крайних значений)
и общее решение исходной системы будет иметь вид: `(x;f(x);f(f(x)))`, где `x` и `f(x)` определены выше


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 06 июл 2011, 22:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5826
Откуда: Москва
michel писал(а):
VEk писал(а):
Однако при использовании тригонометрической замены, например, `x=cost`, `t in [0;pi]`обоснование ограниченности корней необходимо до замены. Зато уравнение простейшее: `cost=cos(27t)`.

Не сразу увидел формулу для косинуса утроенного угла:
`cos3t=4cos^3t-3cost=f(cost)`, где `f(x)=4x^3-3x`, и тогда
`x=f(f(f(x)))` сводится к уравнению `cost=cos27t`на промежутке `[0;pi]` c двумя сериями корней `x=cos(pin/13),n=0,1,...,13` и `x=cos(pim/14),m=0,1,...,14` (всего 27 корней с учетом совпадающих крайних значений)
и общее решение исходной системы будет иметь вид: `(x;f(x);f(f(x)))`, где `x` и `f(x)` определены выше

Да. При тригонометрической замене получается ровно 27 корней, поэтому обоснование, что `x,y,z in [-1; 1]`
может и не проводится. Решение`(x;f(f(x));f(x))`, при этом, конечно, можно учесть, что:
`y=f(f(x))=cos(27t); z=f(x)=cos(9t)`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 06 июл 2011, 23:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5826
Откуда: Москва
`|x^3+7x^2-11x-6|+|x^3-12x^2-5x+3|=18x^2-2x-13`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 07 июл 2011, 02:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июн 2010, 09:30
Сообщений: 268
OlG писал(а):
При тригонометрической замене получается ровно 27 корней, поэтому обоснование, что x,y,z∈[-1;1]
может и не проводится.

Еще раз подчеркну, что для использования такой замены как раз и нужно предварительное обоснование.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 07 июл 2011, 12:06 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5826
Откуда: Москва
VEk писал(а):
OlG писал(а):
При тригонометрической замене получается ровно 27 корней, поэтому обоснование, что x,y,z∈[-1;1]
может и не проводится.

Еще раз подчеркну, что для использования такой замены как раз и нужно предварительное обоснование.


Такая замена без обоснования, что `x,y,z∈[-1;1]` позволяет найти все решения системы
при которых `x,y,z∈[-1;1]`, если такие решения есть, и не позволяет найти те решения
при которых `x,y,z∈(-oo; -1) uuu (1; +oo)`. Систему уравнений можно свести к уравнению
27-ой степени, т.е. такая система имеет не более 27 решений и если при замене `x=cost`
находятся ровно 27 решений таких, что `x,y,z∈[-1;1]` это означает, что найдены все
решения системы и все решения принадлежат промежутку `[-1;1]` и нет никаких других
решений и быть не может.

Можно при решении квадратного уравнения обосновывать, что уравнение имеет 2 корня, потому
что `D>0`, можно по теореме Виета найти знаки этих корней и затем найти эти корни по
формуле `x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\b^2-4ac}}{2a}`. А можно угадать два различных числа,
которые удовлетворяют квадратному уравнению и эти два числа и будут решением этого
квадратного уравнения и при этом не надо будет доказывать, что не существуют еще
какие-либо корни квадратного уравнения, помимо найденных двух и более того - не
надо доказывать, что рассматриваемое квадратное уравнение имеет именно два различных
корня, а не меньше и не больше.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 07 июл 2011, 16:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1675
OlG писал(а):
`|x^3+7x^2-11x-6|+|x^3-12x^2-5x+3|=18x^2-2x-13`

Раскрывая знаки модуля различными способами, можно найти решение `x=2`
для случая: `f(x)-g(x)=h(x)`, где `f(x)=x^3+7x^2-11x-6`,`g(x)=x^3-12x^2-5x+3`,`h(x)=18x^2-2x-13` с последующей проверкой. Другие случаи не дают корней, но прямыми вычислениями это получается громоздко. Здесь лучше воспользоваться цепочкой неравенств: `|f|+|g|>=|f-g|>=f-g>=h`, в этой цепочке достаточно проверить последнее неравенство, которое действительно выполняется для всех `x`:
`f(x)-g(x)>=h(x)<=>19x^2-6x-9>=18x^2-2x-13<=>x^2-4x+4>=0`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 07 июл 2011, 23:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5826
Откуда: Москва
michel писал(а):
OlG писал(а):
`|x^3+7x^2-11x-6|+|x^3-12x^2-5x+3|=18x^2-2x-13`

Раскрывая знаки модуля различными способами, можно найти решение `x=2`
для случая: `f(x)-g(x)=h(x)`, где `f(x)=x^3+7x^2-11x-6`,`g(x)=x^3-12x^2-5x+3`,`h(x)=18x^2-2x-13` с последующей проверкой. Другие случаи не дают корней, но прямыми вычислениями это получается громоздко. Здесь лучше воспользоваться цепочкой неравенств: `|f|+|g|>=|f-g|>=f-g>=h`, в этой цепочке достаточно проверить последнее неравенство, которое действительно выполняется для всех `x`:
`f(x)-g(x)>=h(x)<=>19x^2-6x-9>=18x^2-2x-13<=>x^2-4x+4>=0`


Да.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 08 июл 2011, 00:06 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5826
Откуда: Москва
Найти все значения а, при каждом из которых система разрешима и имеет не более
двух решений. Определить эти решения.

`{(asin|2z|+log_5(xroot(8)(2-5x^8))+a^2=0), (((y^2-1)cos^2(z)-ysin(2z)+1)(1+sqrt(pi+2z)+sqrt(pi-2z))=0):}`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Подготовка 2
 Сообщение Добавлено: 09 июл 2011, 00:39 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1675
OlG писал(а):
Найти все значения а, при каждом из которых система разрешима и имеет не более
двух решений. Определить эти решения.

`{(asin|2z|+log_5(xroot(8)(2-5x^8))+a^2=0), (((y^2-1)cos^2(z)-ysin(2z)+1)(1+sqrt(pi+2z)+sqrt(pi-2z))=0):}`


У меня предварительно получилось: `a in (-oo;(-3-2sqrt(2))/(4sqrt(2)))uuu(-1/(2sqrt(2));-1/(4sqrt(2))]uuu[(3-2sqrt(2))/(4sqrt(2));1/(4sqrt(2))]uuu(1/(2sqrt(2));+oo)`


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 12 из 32 [ Сообщений: 317 ] На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 32  След.




Список форумов » Просмотр темы - Подготовка 2


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: