Автор
Сообщение
OlG
Заголовок сообщения: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 08 авг 2011, 14:01
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Решить уравнение ` \log_{2}(\sqrt{x}+1)^{x/a} - \log_{\sqrt{x}+1}2^x + ax^2 + 4x -1 = 0 `, где ` a<0 `
Краткое решение:
Подробности:
`-(x/a)log_(2)(sqrt(x)+1) + x/(log_(2)(sqrt(x)+1)) = 4x+ ax^2 - 1 <=>` `(log_(2)(sqrt(x)+1))/(-a) + 1/(log_(2)(sqrt(x)+1)) = 4 - (-ax +1/x) `1. `x>0=>sqrt(x)+1>1=>log_(2)(sqrt(x)+1)>0=>` Обозначим `f(x;a)=(log_(2)(sqrt(x)+1))/(-a) + 1/(log_(2)(sqrt(x)+1))>=2/sqrt(-a).` `f(x;a)=2/sqrt(-a)`, если `log_(2)(sqrt(x)+1)=sqrt(-a).`2. Обозначим `g(x;a)=4 - (-ax +1/x)<=4 - 2sqrt(-a).` `g(x;a)=4 - 2sqrt(-a)`, если `x=1/sqrt(-a).`3. Уравнение можно записать в виде: `{(f(x;a)=g(x;a)),(f(x;a)>=2/sqrt(-a)),(g(x;a)<=4 - 2sqrt(-a)),(a<0):}` Система имеет решение, если: `2/sqrt(-a)<=4 - 2sqrt(-a)<=>1<=2sqrt(-a)-(sqrt(-a))^2<=>(sqrt(-a)-1)^2<=0<=>a=-1.` Получили: `{(a=-1),(f(x;a)=2/sqrt(-a)),(g(x;a)=4 - 2sqrt(-a)):}<=>{(a=-1),(log_(2)(sqrt(x)+1)=sqrt(-a)),(x=1/sqrt(-a)):}<=>{(a=-1),(x=1):}`
_________________ Никуда не тороплюсь!
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 08 авг 2011, 14:11
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Решить: `2cos((pix)/6)-(sqrt(x-14))*sin((pix)/4)+sqrt(2x-20)=0` Ответ: `x=18.`
_________________ Никуда не тороплюсь!
Последний раз редактировалось OlG 09 авг 2011, 02:31, всего редактировалось 1 раз.
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 08 авг 2011, 14:37
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Решить: `log_((3^x+2^(-x)))(3-cos(4x)+sin((3y)/2))=log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)` Ответ: `{(x=pi/2+pik; k in ZZ),([(y=pi+12pil; l in ZZ),(y=5pi+12pim; m in ZZ):}):}`
_________________ Никуда не тороплюсь!
Bob
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 09 авг 2011, 04:04
Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32Сообщений: 395
OlG писал(а):
Решить: `2cos((pix)/6)-(sqrt(x-14))*sin((pix)/4)+sqrt(2x-20)=0` Ответ: `x=18.`
Хотелось бы увидеть аналитическое решение.
Графики у этих функций и впрямь красавцы!
Bob
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 09 авг 2011, 05:36
Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32Сообщений: 395
OlG писал(а):
Решить: `log_((3^x+2^(-x)))(3-cos(4x)+sin((3y)/2))=log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)` Ответ: `{(x=pi/2+pik; k in ZZ),([(y=pi+12pil; l in ZZ),(y=5pi+12pim; m in ZZ):}):}`
Пусть
`f(x) = log_((3^x+2^(-x)))(3-cos(4x)+sin((3y)/2))`
`g(x) = log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)`
Нетрудно доказать что `f(x) >= 0` в то время как `g(x) <= 0 `
Равенство возможно когда `f(x) = g(x)`
Далее решаем систему:
`{(3-cos(4x)+sin((3y)/2) = 1),(|sin(3x)cos(2y)| = 1),(|cos(y/3)|+|sin(y/3)| != 1):}`
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 11 авг 2011, 15:35
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
OlG писал(а):
Решить: `log_((3^x+2^(-x)))(3-cos(4x)+sin((3y)/2))=log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)` Ответ: `{(x=pi/2+pik; k in ZZ),([(y=pi+12pil; l in ZZ),(y=5pi+12pim; m in ZZ):}):}`
1. a) ` x>=0=>3^x>=2^x=>3^x+2^(-x)>=2^x+2^(-x)>=2>1`
б) `x<0=>2^(-x)>2^0=>3^x+2^(-x)>3^x+1>1`
в) `{(-cos(4x)>=-1),(sin((3y)/2)>=-1):}=>3-cos(4x)+sin((3y)/2)>=3-1-1=1`
г) `f(x)=log_((3^x+2^(-x)))(3-cos(4x)+sin((3y)/2))>=0`
2. а) `{(0<=|cos(y/3)|<=1),(0<=|sin(y/3)|<=1):}=>{(|cos(y/3)|>=cos^2(y/3)),(|sin(y/3)|>=sin^2(y/3)):}=>|cos(y/3)|+|sin(y/3)|>=cos^2(y/3)+sin^2(y/3)=1`
б) `{(0<|sin(3x)|<=1),(0<|cos(2y)|<=1):}=>0<|sin(3x)cos(2y)|<=1`
в) `{(g(x)=log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)<=0),(cos^2(y/3)+sin^2(y/3)!=1):}=>{(g(x)=log_((|cos(y/3)|+|sin(y/3)|))(|sin(3x)cos(2y)|)<=0),([(cos^2(y/3)!=1),(sin^2(y/3)!=1):}):}`
3. Уравнение можно записать в виде:
`{(f(x)=g(x)),(f(x)>=0),(g(x)<=0):}=>{(f(x)=0),(g(x)=0):}=>{(3-cos(4x)+sin((3y)/2)=1),(|sin(3x)cos(2y)|=1),([(cos^2(y/3)!=1),(sin^2(y/3)!=1):}):}<=>{(cos(4x)=1),(sin((3y)/2)=-1),(|sin(3x)|=1),(|cos(2y)|=1),([(cos^2(y/3)!=1),(sin^2(y/3)!=1):}):}`
Дальше тригонометрия. Для желающих потренироваться - параллельный
пример (теперь без ответа):
`log_((|cos((4x)/3)|+|sin((4x)/3)|))(6-cos((4y)/3)-4sin(6x))=log_((6^y+4^(-y)))(|sin(y)cos(8x)|)`.
_________________ Никуда не тороплюсь!
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 11 авг 2011, 17:59
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Найдите все значения `a`, при которых неравенство имеет единственное решение: `root(4)(7a^2-5ax+x^2)+root(4)(9-x^2-7a^2+5ax)>=root(4)(60-2sqrt6a+|y-3a^2-sqrt6a|+|y+sqrt6a-6|)` Ответ: `a=-sqrt6`.
_________________ Никуда не тороплюсь!
Последний раз редактировалось OlG 16 авг 2011, 01:05, всего редактировалось 2 раз(а).
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 12 авг 2011, 00:27
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Решить уравнение: `2^(2^(sin^2x))+2^(2^((cos2x)/2))=2^(1+root(4)2)`. Ответ: `x=+-pi/6+pik; k in ZZ.`
_________________ Никуда не тороплюсь!
OlG
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 12 авг 2011, 00:49
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49Сообщений: 6791Откуда: Москва
Решить уравнение: `25*3^(|x-5|+|x-3|)+9*5^(|x-4|+|x-6|)=450` Ответ: `x in [4;5]`
_________________ Никуда не тороплюсь!
Igor5
Заголовок сообщения: Re: Метод оценки при решении уравнений, неравенств, систем.
Добавлено: 12 авг 2011, 10:13
Зарегистрирован: 26 ноя 2010, 23:55Сообщений: 1293Откуда: г. Москва
OlG писал(а):
Решить уравнение: `25*3^(|x-5|+|x-3|)+9*5^(|x-4|+|x-6|)=450` Ответ: `x in [4;5]`
1) Минимальное значение первого слагаемого `25*3^(|x-5|+|x-3|)` достигается при минимальной степени у `3`. Минимальная степень у `3` достигается при `x in [3;5]`, т.е. минимальное значение первого слагаемого `25* 3^2 = 225.`
2) Аналогично для второго слагаемого, минимальное значение `9*5^(|x-4|+|x-6|)` достигается при минимальной степени `5` т.е. при `x in [4;6]` и равно `9*5^2 = 225.`
3) Объединяя 1) и 2) минимальное значение суммы равно `450` при `x in [4;5]`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения