Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 16 из 24 [ Сообщений: 233 ] На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 24  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 01 сен 2011, 23:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32
Сообщений: 395
OlG писал(а):
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`x^4+1/4=(sqrt2)x*sqrt((x^4-1/4))`.
Или это же уравнение в другой форме записи:

`x^4+1/4=(sqrt2)x*(x^4-1/4)^(1/2)`.

Замена `x=1/sqrt(2)*sqrt(sec(t))` превращает уравнение в `sec^4(t)-4sec^3(t)+2sec^2(t)+4sec(t)+1=0` Вторая замена `sec(t)=y , y>0`
Решаем `y^4-4y^3+2y^2+4y+1=0` Это симетричное уравнение четвертой степени так как коеф. первого и второго члена равны коэф. последнего и предпоследнего члена. Делим уравнение на `1/y^2` получаем уравнение вида `(y^2+1/y^2)-4(y-1/y)+2=0` Делаем очередную замену `u=y-1/y` затем решаем квадратное уравнение `u^2-4u+4=0 => u=2 => 2=y-1/y => y= 1+-sqrt(2)` подходит только `y=1+sqrt(2) => sec(t)=1+sqrt(2) => x=1/sqrt(2)*sqrt(1+sqrt(2))= sqrt(2+2sqrt(2))/2`


Последний раз редактировалось Bob 01 сен 2011, 23:32, всего редактировалось 4 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 01 сен 2011, 23:14 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5578
Да можно было сразу на `x^2` поделить и возвести в квадрат. Эффект такой же, а то Вы своим секансом тут всех блондинок распугаете, а их у нас и так мало :D


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 01 сен 2011, 23:45 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6015
Откуда: Москва
OlG писал(а):
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`x^4+1/4=(sqrt2)x*sqrt((x^4-1/4))`.
Или это же уравнение в другой форме записи:

`x^4+1/4=(sqrt2)x*(x^4-1/4)^(1/2)`.


`<=>{(x>0),((x^4+1/4)^2=2x^2(x^4-1/4)):}<=>{(x>0),((x^4-1/4)^2+x^4=2x^2(x^4-1/4)):}<=>`
`<=>{(x>0),((a-b)^2=0):}<=>{(x>0),(((x^4-1/4)-x^2)^2=0):}<=>{(x>0),(x^4-x^2-1/4=0):}`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 08 сен 2011, 19:02 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6015
Откуда: Москва
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 09 сен 2011, 19:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1676
OlG писал(а):
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`.

Ответ:`+-arccos((sqrt(6)+-sqrt(2))/4)+2pin,+-arccos((sqrt(34)+-sqrt(2))/8)+2pin,n in ZZ`
Разложил через `cos^2x`:
`cos^2 3x=16cos^6x-24cos^4x+9cos^2x`
`cos^2 4x=64cos^8x-128cos^6x+80cos^4x-16cos^2x+1`
В итоге получилось уравнение 4 степени относительно `t=cos^2x`:
`128t^4-272t^3+184t^2-41t+2=0<=>(8t^2-9t+2)(16t^2-16t+1)=0`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 09 сен 2011, 21:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
OlG писал(а):
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`.

Ответ: `x=+-pi/12+(pi*n)/2 quad n in Z`
Понизил степень `1+cos(8x)=(1+cos(6x))/2` и разложил относительно `t=cos(2x)`
`16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0`
`cos(2x)=+-sqrt(3)/2`
`x=+-pi/12+(pi*n)/2 quad n in Z`

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 09 сен 2011, 22:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 май 2011, 07:42
Сообщений: 21
Блеск! А я вчера ночью не смогла разложить на множители этот многочлен 4 степени. Пробовала методом неопределенных коэффициентов и не хватило терпения( а может ума). Спасибо. Теперь можно спать спокойно!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2011, 13:28 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6015
Откуда: Москва
Спасибо michel, спасибо vyv2 за Ваши решения. Я решал как vyv2,
добавлю ответ к решению vyv2: `cos(2x)=(1+-sqrt(17))/8 => x=+-1/2arccos((1+-sqrt(17))/8)+ pik quad k in Z.`
При разложении на множители уравнения `16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0` до метода
неопределенных коэффициентов не дошел, успел заметить, что `t=+-sqrt(3)/2` удовлетворяет
уравнению.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2011, 17:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
OlG писал(а):
Спасибо michel, спасибо vyv2 за Ваши решения. Я решал как vyv2,
добавлю ответ к решению vyv2: `cos(2x)=(1+-sqrt(17))/8 => x=+-1/2arccos((1+-sqrt(17))/8)+ pik quad k in Z.`
При разложении на множители уравнения `16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0` до метода
неопределенных коэффициентов не дошел, успел заметить, что `t=+-sqrt(3)/2` удовлетворяет
уравнению.

Я как увидел `sqrt(17)`, подумал, что корни для второго уравнения по модулю больше 1.
Не тут-то было.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 10 сен 2011, 18:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6015
Откуда: Москва
admin писал(а):
Найдите все значения `a`, при каждом из которых для любого `b` система имеет хотя бы одно решение.
`{(x-by+az^2=0),(2bx+(b-6)y-8z=8):}`


Найдите все значения `a`, при каждом из которых для любого значения
`b` система имеет хотя бы одно решение `(x; quad y; quad z)` (Мехмат-86).

`a) quad {(bx-y-az^2=0),((b-6)x+2by-4z=4):}`

`b) quad {(2bx+y=a),((1-b)x+by=z^2+z):}`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 16 из 24 [ Сообщений: 233 ] На страницу Пред.  1 ... 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 ... 24  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: