|
Автор |
Сообщение |
Bob
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 01 сен 2011, 23:07 |
|
Зарегистрирован: 02 авг 2011, 00:32 Сообщений: 395
|
OlG писал(а): Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения): `x^4+1/4=(sqrt2)x*sqrt((x^4-1/4))`. Или это же уравнение в другой форме записи:
`x^4+1/4=(sqrt2)x*(x^4-1/4)^(1/2)`. Замена `x=1/sqrt(2)*sqrt(sec(t))` превращает уравнение в `sec^4(t)-4sec^3(t)+2sec^2(t)+4sec(t)+1=0` Вторая замена `sec(t)=y , y>0` Решаем `y^4-4y^3+2y^2+4y+1=0` Это симетричное уравнение четвертой степени так как коеф. первого и второго члена равны коэф. последнего и предпоследнего члена. Делим уравнение на `1/y^2` получаем уравнение вида `(y^2+1/y^2)-4(y-1/y)+2=0` Делаем очередную замену `u=y-1/y` затем решаем квадратное уравнение `u^2-4u+4=0 => u=2 => 2=y-1/y => y= 1+-sqrt(2)` подходит только `y=1+sqrt(2) => sec(t)=1+sqrt(2) => x=1/sqrt(2)*sqrt(1+sqrt(2))= sqrt(2+2sqrt(2))/2`
Последний раз редактировалось Bob 01 сен 2011, 23:32, всего редактировалось 4 раз(а).
|
|
|
|
|
|
|
admin
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 01 сен 2011, 23:14 |
|
|
Администратор |
|
Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00 Сообщений: 6218
|
Да можно было сразу на `x^2` поделить и возвести в квадрат. Эффект такой же, а то Вы своим секансом тут всех блондинок распугаете, а их у нас и так мало
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 01 сен 2011, 23:45 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
OlG писал(а): Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения): `x^4+1/4=(sqrt2)x*sqrt((x^4-1/4))`. Или это же уравнение в другой форме записи:
`x^4+1/4=(sqrt2)x*(x^4-1/4)^(1/2)`. `<=>{(x>0),((x^4+1/4)^2=2x^2(x^4-1/4)):}<=>{(x>0),((x^4-1/4)^2+x^4=2x^2(x^4-1/4)):}<=>` `<=>{(x>0),((a-b)^2=0):}<=>{(x>0),(((x^4-1/4)-x^2)^2=0):}<=>{(x>0),(x^4-x^2-1/4=0):}`
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 08 сен 2011, 19:02 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения): `2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`.
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
michel
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 09 сен 2011, 19:26 |
|
Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02 Сообщений: 1678
|
OlG писал(а): Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения): `2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`. Ответ:`+-arccos((sqrt(6)+-sqrt(2))/4)+2pin,+-arccos((sqrt(34)+-sqrt(2))/8)+2pin,n in ZZ` Разложил через `cos^2x`: `cos^2 3x=16cos^6x-24cos^4x+9cos^2x` `cos^2 4x=64cos^8x-128cos^6x+80cos^4x-16cos^2x+1` В итоге получилось уравнение 4 степени относительно `t=cos^2x`: `128t^4-272t^3+184t^2-41t+2=0<=>(8t^2-9t+2)(16t^2-16t+1)=0`
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 09 сен 2011, 21:47 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
OlG писал(а): Решить уравнение (ответ плюс краткое решение или идея решения): `2cos^(2)4x+sin^(2)3x=1`. Ответ: `x=+-pi/12+(pi*n)/2 quad n in Z` Понизил степень `1+cos(8x)=(1+cos(6x))/2` и разложил относительно `t=cos(2x)` `16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0` `cos(2x)=+-sqrt(3)/2` `x=+-pi/12+(pi*n)/2 quad n in Z`
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
волга
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 09 сен 2011, 22:27 |
|
Зарегистрирован: 12 май 2011, 07:42 Сообщений: 21
|
Блеск! А я вчера ночью не смогла разложить на множители этот многочлен 4 степени. Пробовала методом неопределенных коэффициентов и не хватило терпения( а может ума). Спасибо. Теперь можно спать спокойно!
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 10 сен 2011, 13:28 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
Спасибо michel, спасибо vyv2 за Ваши решения. Я решал как vyv2, добавлю ответ к решению vyv2: `cos(2x)=(1+-sqrt(17))/8 => x=+-1/2arccos((1+-sqrt(17))/8)+ pik quad k in Z.` При разложении на множители уравнения `16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0` до метода неопределенных коэффициентов не дошел, успел заметить, что `t=+-sqrt(3)/2` удовлетворяет уравнению.
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 10 сен 2011, 17:36 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
OlG писал(а): Спасибо michel, спасибо vyv2 за Ваши решения. Я решал как vyv2, добавлю ответ к решению vyv2: `cos(2x)=(1+-sqrt(17))/8 => x=+-1/2arccos((1+-sqrt(17))/8)+ pik quad k in Z.` При разложении на множители уравнения `16t^4-4t^3-16t^2+3t+3=(4t^2-3)(4t^2-t-1)=0` до метода неопределенных коэффициентов не дошел, успел заметить, что `t=+-sqrt(3)/2` удовлетворяет уравнению. Я как увидел `sqrt(17)`, подумал, что корни для второго уравнения по модулю больше 1. Не тут-то было.
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы. Добавлено: 10 сен 2011, 18:19 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
|
admin писал(а): Найдите все значения `a`, при каждом из которых для любого `b` система имеет хотя бы одно решение. `{(x-by+az^2=0),(2bx+(b-6)y-8z=8):}` Найдите все значения `a`, при каждом из которых для любого значения `b` система имеет хотя бы одно решение `(x; quad y; quad z)` (Мехмат-86). `a) quad {(bx-y-az^2=0),((b-6)x+2by-4z=4):}` `b) quad {(2bx+y=a),((1-b)x+by=z^2+z):}`
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
|
|
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
|
|
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|
|