Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 21 из 24 [ Сообщений: 233 ] На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2011, 19:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 965
Откуда: Казань
OlG писал(а):
Найти все действительные значения `a`, при которых неравенство имеет
ровно одно решение (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`log_(1/a)(sqrt(x^2+ax+5)+1)log_(5)(x^2+ax+6)+log_(a)3>=0.`

Пусть `z=sqrt(x^2+ax+5)>=0`. Неравенство `(-log_3(z+1)log_5(z^2+1)+1)/(log_3a)>=0` имеет решения `0<=z<=2` при `a>1` и `z>=2` при `0<a<1` (Произведение `log_3(z+1)log_5(z^2+1)` возрастает на `z>=0` как произведение положительных возрастающих на `z>=0` функций ). Возвращаясь к `x`, получаем `a=2` (`x=-1`).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2011, 21:31 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5578
Я так решал:
`log_a(z+1)log_5(z^2+1)<=log_a3`
Заметим, что `z=2` является решением при любом `a` из области определения.
Тогда `x^2+ax+5-z^2=0` должно иметь единственное решение.
`a^2-20+4z^2=0 -> a=2` - получили необходимое условие на `a`.
Достаточность следует из последней строчки в решении уважаемого Иваныча


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2011, 22:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Спасибо admin, спасибо Иваныч за Ваши решения.

OlG писал(а):
Найти `a` при которых существуют четыре натуральных числа `x, quad y, quad p, quad q`, удовлетворяющих
равенствам (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`{((x+y)(x+y+20)=(140-a)(a-80)),(a(8p^2+2q^2-a)=(4p^2-q^2)^2):}`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2011, 23:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 965
Откуда: Казань
OlG писал(а):
Спасибо admin, спасибо Иваныч за Ваши решения.

OlG писал(а):
Найти `a` при которых существуют четыре натуральных числа `x, quad y, quad p, quad q`, удовлетворяющих
равенствам (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`{((x+y)(x+y+20)=(140-a)(a-80)),(a(8p^2+2q^2-a)=(4p^2-q^2)^2):}`

Из первого уравнения, грубо: `80<a<140`; решаем второе уравнение относительно `a`: `a=(2p+-q)^2`- точный квадрат; поэтому достаточно испытать (подстановкой в первое уравнение) `a=81`, `100`, `121`.

Ответ: `a=100`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2011, 00:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Иваныч писал(а):
OlG писал(а):
Найти `a` при которых существуют четыре натуральных числа `x, quad y, quad p, quad q`, удовлетворяющих
равенствам (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`{((x+y)(x+y+20)=(140-a)(a-80)),(a(8p^2+2q^2-a)=(4p^2-q^2)^2):}`

Из первого уравнения, грубо: `80<a<140`; решаем второе уравнение относительно `a`: `a=(2p+-q)^2`- точный квадрат; поэтому достаточно испытать (подстановкой в первое уравнение) `a=81`, `100`, `121`.

Ответ: `a=100`.


Спасибо Иваныч за Ваше решение.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 16 окт 2011, 03:42 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6016
Откуда: Москва
Решить систему уравнений (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`{(x^2+y=2),(y^2+z=2),(z^2+x=2):}`

Отсюда. Тригонометрическая замена.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 18 окт 2011, 13:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
OlG писал(а):
Решить систему уравнений (ответ плюс краткое решение или идея решения):

`{(x^2+y=2),(y^2+z=2),(z^2+x=2):}`

Отсюда. Тригонометрическая замена.


Интересная задачка.
Содрогнула моя рука и содрогнула система. :D
Делал очень не интересным и трудоемким способом, это подстановка.
вообщем получилась такая вещь: `-(y+2)(y-1)(y^3-y^2-2y+1)(y^3-3y-1)=0` далее все не очень интересно.
Сейчас хочу попробовать воспользоваться методом тригонометрической подстановки.
Если не ошибаюсь то здесь лучше заменять переменные через тангенс половинного угла?
Большое спасибо.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 18 окт 2011, 14:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2323
Откуда: Саранск
Я бы не трогала тангенсы :)

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 18 окт 2011, 15:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
Честно сказать была идея заменить `x` на `x=1/sin(alpha)` , где `alpha in[-pi/2;0)uuu(0;pi/6]`. Остальные переменные аналогично.

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Почти простые уравнения, неравенства, системы.
 Сообщение Добавлено: 18 окт 2011, 18:49 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2323
Откуда: Саранск
Возьми ` y=2cost`

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 21 из 24 [ Сообщений: 233 ] На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: