Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2015, 22:45 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2651
Откуда: Москва
Окружность с центром в вершине правильного пятиугольника и радиусом, равным стороне этого пятиугольника делит его на две части. Площадь какой части пятиугольника больше, той что лежит вне круга, или той, что внутри?


Вложения:
пятиугольник.JPG
пятиугольник.JPG [ 15.06 KIB | Просмотров: 5331 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2015, 00:49 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2651
Откуда: Москва
Внутри круга лежит сектор. Его площадь `(3a^2pi)/10`
Площадь правильного пятиугольника `(5a^2)/4*ctgpi/5`
Это если wiki не врёт :tomato:

Тогда площадь вне круга `(5a^2)/4*ctgpi/5 - (3a^2pi)/10 `

И как теперь узнать какая из частей больше?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2015, 01:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Марина писал(а):
Внутри круга лежит сектор. Его площадь `(3a^2pi)/10`
Площадь правильного пятиугольника `(5a^2)/4*ctgpi/5`
Это если wiki не врёт :tomato:

Тогда площадь вне круга `(5a^2)/4*ctgpi/5 - (3a^2pi)/10 `

И как теперь узнать какая из частей больше?

Использовать формулу `ctg(pi/5)=sqrt(1+2/sqrt5)`

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2015, 11:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2651
Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Марина писал(а):
И как теперь узнать какая из частей больше?

Использовать формулу `ctg(pi/5)=sqrt(1+2/sqrt5)`

O! Хорошо!!!
Тогда получается надо сравнить `(5sqrt(1+2/sqrt5))/4` и `(3pi)/5`

А как?

`sqrt5~~2,24`, `pi~~3,14` и посчитать?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2015, 12:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Марина писал(а):
Тогда получается надо сравнить `(5sqrt(1+2/sqrt5))/4` и `(3pi)/5`

А как?

`sqrt5~~2,24`, `pi~~3,14` и посчитать?


Да.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2015, 13:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 окт 2011, 07:26
Сообщений: 3051
хочется не знать значение `ctg(pi/5)` и обойтись грубыми оценками, но не получается :) .
Пусть `S` - площадь всего пятиугольника, `S_1` - площадь "вкруговой" части.
Найдем `k=S/(S_1)=(25ctg(pi/5))/(6pi)`
`ctg(pi/5)=sqrt(1+2/(sqrt5))<sqrt2<1,5`
`pi>3,14`
=> `k<1,9...<2`
Сл-но, `S1` составляет больше половины `S`
==========================================
Обратное отношение `(S_1)/S=(6pitg(pi/5))/25` оценить легче.
`tg(pi/5)=sqrt(5-2sqrt5)>sqrt(0,5)>0,7`
`pi>3`
`(S_1)/S>(6*3*0,7)/25=0,72*0,7=0,504`
`S_1>1/2S`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2015, 00:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 мар 2013, 19:13
Сообщений: 2892
Марина писал(а):
Тема: Правильный пятиугольник.
О, правильный пятиугольник --- значит, где-то рядом притаилось золотое сечение :)
Подробности:
Его диагональ и сторона находятся в отношении золотого сечения;
и каждые две диагонали делят друг друга в том же отношении.
См. прикреплённый к следующему посту pdf-файл или другой источник.
Кстати, отношение тех самых площадей постоянно
(не зависит от стороны пятиугольника),
Подробности:
в чём можно убедиться, таская движок AB в файле
Вложение:
z_pyatyugoln.ggb [16.33 KIB]
Скачиваний: 157
Для тех, кто пока этого не знает: файл .ggb открывается программой ГеоГебра;
GeoGebra тут http://download.geogebra.org/installers/5.0/?C=M;O=D
или тут http://www.geogebra.org/cms/ru/download/
Чтобы GeoGebra заработала, нужна ещё Java http://java.com/ru/

Этот файл z_pyatyugoln.ggb открывается ГерГеброй версии от 4.0 и выше.
но как это доказать?
Вообще-то доказательство простое:
площади всевозможных кусочков зависят от квадрата стороны 5-угольника,
вот он (этот квадрат) в конце концов и сократится.
Однако не вредно будет "погрузиться" в правильный 5-угольник,
раз уж заявлена такая тема...
Подробности:
Вложение:
z1_pyatyugoln_300.png
z1_pyatyugoln_300.png [ 23.55 KIB | Просмотров: 5116 ]
Вот картинка. Для начала просто не поленитесь посчитать углы. Всякие.
Вам всё время будут попадаться `36^circ` и `72^circ`.
Ну в крайнем случае --- `108^circ`.
Вобчем, всюду там золотые треугольники:
Вложение:
ZolotTreug.pdf [50 KIB]
Скачиваний: 159

Потом.
Докажите, что упоминаемая в условии окружность проходит через точки `F` и `J` пересечения диагоналей.
Дальше.
Тут на картинке много-премного треугольников, равных `Delta DEJ` --- пусть их площади равны `x`;
площади треугольничков, равных `Delta EJG`, пусть равны `y`;
убедитесь (подсчитав углы), что `Delta DEJ sim Delta EJG`.
Коэффициент подобия равен `phi=(1+sqrt5)/2` --- числу Фидия
(см. про золотое сечение прикреплённый к следующему посту pdf-файл или другой источник),
т.е. `x/y=phi^2`.
Тогда площади треугольников, равных `Delta DEG`, равны `u=x-y=x(1-1/(phi^2))=x cdot (phi^2-1)/(phi^2)`
Ну и пусть ещё площадь красного сегмента равна `z`.
Тогда площадь сектора ABC равна `S_1=3x+3z`;
площадь "корыта" ACDE равна `S_2=x+3(u-z)=x+3x cdot (phi^2-1)/(phi^2)-3z`.
Отсюда легко получить ответ на вопрос Марины,
составив разность `S_1-S_2` и убедившись в её положительности
(подробности в следующем посте).

Но отношение `(S_1)/(S_2)` ужаснэ :scared-yipes:
Одно яснэ: поскольку все `x,y,z` зависят от квадрата стороны `a` 5-угольника,
то этот `a^2` благополучно "сократится":
`x=(a^2 sin36^circ)/2`
`z=(pi a^2)/10 - x`.
Стало быть, оно постоянное.
#:-s
Кстати, в решениях Dixi и Марины с vyv2 золотое сечение "сидит" в `ctg(pi/5)`,
ведь тригонометрические функции `pi/5` (т.е. `36^circ`) находят из золотого треугольника :D


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2015, 08:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 мар 2013, 19:13
Сообщений: 2892
Dixi писал(а):
хочется не знать значение `ctg(pi/5)` и обойтись грубыми оценками, но не получается :)
Увы, приходится знать если не `ctg(pi/5)`, то про золотое сечение ---
а это что в лоб, что по лбу :(
Но всё же...
Подробности:
В обозначениях предыдущего поста:
`S_1-S_2=` `3x+3z - (x+3(u-z))=` `2x-3x cdot (phi^2-1)/(phi^2)+6z=` `x cdot (3-phi^2)/(phi^2)+6z=` `x cdot (3-(3+sqrt5)/2)/(phi^2)+6z=` `x cdot (3-sqrt5)/(2 phi^2)+6z > 0`
Вложение:
ZolotSech.pdf [125.4 KIB]
Скачиваний: 260
Если только я нигде не ошиблась... :tomato:


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2015, 17:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
Т.С. писал(а):
Кстати, отношение тех самых площадей постоянно
(не зависит от стороны пятиугольника),в чём можно убедиться, таская движок AB в файле


То, что оно постоянно - это очевидно.

Если кому-то это неочевидно или, более того, нужно движки таскать - значит это кто-то не понял, что такое подобные фигуры.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Правильный пятиугольник
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2015, 18:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Т.С. писал(а):
Ведь тригонометрические функции `pi/5` (т.е. `36^circ`) находят из золотого треугольника :D


`cos54^@=sin36^@ quad <=> quad cos(3*18^@)=sin(2*18^@) <=> 4cos^3(18^@)-3cos(18^@)=2sin(18^@)cos(18^@) quad => quad`

`=> quad 4sin^2(18^@)+2sin(18^@)-1=0 quad => quad sin(18^@)=(sqrt5-1)/4 quad => quad cos(36^@)=(sqrt5+1)/4 quad =>ctg(36^@)=sqrt(1+2/sqrt5). `

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: