Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21 Сообщений: 2651 Откуда: Москва
Окружность с центром в вершине правильного пятиугольника и радиусом, равным стороне этого пятиугольника делит его на две части. Площадь какой части пятиугольника больше, той что лежит вне круга, или той, что внутри?
хочется не знать значение `ctg(pi/5)` и обойтись грубыми оценками, но не получается . Пусть `S` - площадь всего пятиугольника, `S_1` - площадь "вкруговой" части. Найдем `k=S/(S_1)=(25ctg(pi/5))/(6pi)` `ctg(pi/5)=sqrt(1+2/(sqrt5))<sqrt2<1,5` `pi>3,14` => `k<1,9...<2` Сл-но, `S1` составляет больше половины `S` ========================================== Обратное отношение `(S_1)/S=(6pitg(pi/5))/25` оценить легче. `tg(pi/5)=sqrt(5-2sqrt5)>sqrt(0,5)>0,7` `pi>3` `(S_1)/S>(6*3*0,7)/25=0,72*0,7=0,504` `S_1>1/2S`
Зарегистрирован: 07 мар 2013, 19:13 Сообщений: 2892
Марина писал(а):
Тема: Правильный пятиугольник.
О, правильный пятиугольник --- значит, где-то рядом притаилось золотое сечение
Подробности:
Его диагональ и сторона находятся в отношении золотого сечения; и каждые две диагонали делят друг друга в том же отношении. См. прикреплённый к следующему посту pdf-файл или другой источник.
Кстати, отношение тех самых площадей постоянно (не зависит от стороны пятиугольника),
Этот файл z_pyatyugoln.ggb открывается ГерГеброй версии от 4.0 и выше.
но как это доказать? Вообще-то доказательство простое: площади всевозможных кусочков зависят от квадрата стороны 5-угольника, вот он (этот квадрат) в конце концов и сократится. Однако не вредно будет "погрузиться" в правильный 5-угольник, раз уж заявлена такая тема...
Вот картинка. Для начала просто не поленитесь посчитать углы. Всякие. Вам всё время будут попадаться `36^circ` и `72^circ`. Ну в крайнем случае --- `108^circ`. Вобчем, всюду там золотые треугольники:
Потом. Докажите, что упоминаемая в условии окружность проходит через точки `F` и `J` пересечения диагоналей. Дальше. Тут на картинке много-премного треугольников, равных `Delta DEJ` --- пусть их площади равны `x`; площади треугольничков, равных `Delta EJG`, пусть равны `y`; убедитесь (подсчитав углы), что `Delta DEJ sim Delta EJG`. Коэффициент подобия равен `phi=(1+sqrt5)/2` --- числу Фидия (см. про золотое сечение прикреплённый к следующему посту pdf-файл или другой источник), т.е. `x/y=phi^2`. Тогда площади треугольников, равных `Delta DEG`, равны `u=x-y=x(1-1/(phi^2))=x cdot (phi^2-1)/(phi^2)` Ну и пусть ещё площадь красного сегмента равна `z`. Тогда площадь сектора ABC равна `S_1=3x+3z`; площадь "корыта" ACDE равна `S_2=x+3(u-z)=x+3x cdot (phi^2-1)/(phi^2)-3z`. Отсюда легко получить ответ на вопрос Марины, составив разность `S_1-S_2` и убедившись в её положительности (подробности в следующем посте).
Но отношение `(S_1)/(S_2)` ужаснэ Одно яснэ: поскольку все `x,y,z` зависят от квадрата стороны `a` 5-угольника, то этот `a^2` благополучно "сократится": `x=(a^2 sin36^circ)/2` `z=(pi a^2)/10 - x`. Стало быть, оно постоянное.
Кстати, в решениях Dixi и Марины с vyv2 золотое сечение "сидит" в `ctg(pi/5)`, ведь тригонометрические функции `pi/5` (т.е. `36^circ`) находят из золотого треугольника
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения