Марина писал(а):
В выпуклом четырёхугольнике `ABCD` точка `E` - середина стороны `AB`, точка `F` - середина стороны `CD`. Площадь треугольника `BEC`в пять раз больше площади треугольника `AED`, а площадь треугольника `BFC` в пять раз больше площади треугольника `ADF`. Площадь четырёхугольника `ABCD` равна `S`. Найти площадь четырёхугольника `ABCF`. Может ли четырёхугольник `ABCD` быть не трапецией и не параллелограммом?
Четырёхугольник `ABCD` быть только трапецией и не может быть параллелограммом.
Из равенств площадей `S_(BEC)=5S_(AED); qquad S_(BFC)=5S_(ADF)` следует `h_4/h_2=h_3/h_1=5`.
Для выпуклого четырехугольника АВСD , у которого DA=a параллельна СВ=b c b/a=5, т.е. четырехугольник является трапецией, выполнено условие равенства площадей. Если одну из вершин сдвинуть вдоль стороны , которая не параллельна другой( при этом четырехугольник не будет трапецией) , то измениться лишь одна из высот h и нарушится равенство площадей.
Следовательно, четырехугольник может быть только трапецией.
Т.к. AD:EF:BC~a:(a+b)/2:b~1:2,5:5, то `S_(ABCF)/S_(ABCD)=((FE+CB)/2H/2+1/2FE H/2):(1/2(DA+CB)H)=(FE+(CB)/2):(DA+CB)=(1/2(a+5a)+1/2 5a):(a+5a)=((6+5)/2):(1+5)=11/12`, где Н высота трапеции.
Вложение:
Четырехугольник.jpg [ 32.21 KIB | Просмотров: 3253 ]