Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Выпуклый четырёхугольник
 Сообщение Добавлено: 27 июл 2015, 22:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2651
Откуда: Москва
В выпуклом четырёхугольнике `ABCD` точка `E` - середина стороны `AB`, точка `F` - середина стороны `CD`. Площадь треугольника `BEC`в пять раз больше площади треугольника `AED`, а площадь треугольника `BFC` в пять раз больше площади треугольника `ADF`. Площадь четырёхугольника `ABCD` равна `S`. Найти площадь четырёхугольника `ABCF`. Может ли четырёхугольник `ABCD` быть не трапецией и не параллелограммом?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырёхугольник
 Сообщение Добавлено: 01 авг 2015, 14:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Марина писал(а):
В выпуклом четырёхугольнике `ABCD` точка `E` - середина стороны `AB`, точка `F` - середина стороны `CD`. Площадь треугольника `BEC`в пять раз больше площади треугольника `AED`, а площадь треугольника `BFC` в пять раз больше площади треугольника `ADF`. Площадь четырёхугольника `ABCD` равна `S`. Найти площадь четырёхугольника `ABCF`. Может ли четырёхугольник `ABCD` быть не трапецией и не параллелограммом?

Четырёхугольник `ABCD` быть только трапецией и не может быть параллелограммом.

Из равенств площадей `S_(BEC)=5S_(AED); qquad S_(BFC)=5S_(ADF)` следует `h_4/h_2=h_3/h_1=5`.
Для выпуклого четырехугольника АВСD , у которого DA=a параллельна СВ=b c b/a=5, т.е. четырехугольник является трапецией, выполнено условие равенства площадей. Если одну из вершин сдвинуть вдоль стороны , которая не параллельна другой( при этом четырехугольник не будет трапецией) , то измениться лишь одна из высот h и нарушится равенство площадей.
Следовательно, четырехугольник может быть только трапецией.
Т.к. AD:EF:BC~a:(a+b)/2:b~1:2,5:5, то `S_(ABCF)/S_(ABCD)=((FE+CB)/2H/2+1/2FE H/2):(1/2(DA+CB)H)=(FE+(CB)/2):(DA+CB)=(1/2(a+5a)+1/2 5a):(a+5a)=((6+5)/2):(1+5)=11/12`, где Н высота трапеции.
Вложение:
Четырехугольник.jpg
Четырехугольник.jpg [ 32.21 KIB | Просмотров: 3253 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 05 авг 2015, 10:00, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырёхугольник
 Сообщение Добавлено: 02 авг 2015, 01:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Подробности:
vyv2 писал(а):
Марина писал(а):
В выпуклом четырёхугольнике `ABCD` точка `E` - середина стороны `AB`, точка `F` - середина стороны `CD`. Площадь треугольника `BEC`в пять раз больше площади треугольника `AED`, а площадь треугольника `BFC` в пять раз больше площади треугольника `ADF`. Площадь четырёхугольника `ABCD` равна `S`. Найти площадь четырёхугольника `ABCF`. Может ли четырёхугольник `ABCD` быть не трапецией и не параллелограммом?

Четырёхугольник `ABCD` быть только трапецией и не может быть параллелограммом.

Из равенств площадей `S_(BEC)=5S_(AED); qquad S_(BFC)=5S_(ADF)` следует `h_4/h_2=h_3/h_1=5`.
Для выпуклого четырехугольника АВСD , у которого DA=a параллельна СВ=b c b/a=5, т.е. четырехугольник является трапецией, выполнено условие равенства площадей. Если одну из вершин сдвинуть вдоль стороны , которая не параллельна другой( при этом четырехугольник не будет трапецией) , то измениться лишь одна из высот h и нарушится равенство площадей.
Следовательно, четырехугольник может быть только трапецией.
Т.к. AD:EF:BC~a:(a+b)/2:b~1:2,5:5, то `S_(ABCF)/S_(ABCD)=((3+5)/2*2.5+3/2*2.5):((1+5)/2*5)=11/12`

Изображение


1. ТЫЦ. `quad (AE)/(BE)=(CF)/(DF) quad => quad S=S_1+S_2`

Подробности:
Изображение


2.
Подробности:


а) `S_(AEFD)=S_(AFD)+S_(AFE)=S_(AFD)+1/2S_(AFB)=S_(AFD)+1/2(S_(ADE)+S_(BEC))=S_(AFD)+3S_(ADE);`

б) `S_(AEFD)=S_(ADE)+S_(DEF)=S_(ADE)+1/2S_(DEC)=S_(ADE)+1/2(S_(AFD)+S_(BFC))=3S_(AFD)+S_(ADE);`

в) `S_(AFD)+3S_(ADE)=3S_(AFD)+S_(ADE) quad => quad S_(ADE)=S_(AFD) quad => quad AD parallel FE.`

3. Аналогично пункту 2:
а) `S_(BCFE)=S_(BCE)+S_(AFE)=S_(BCE)+3/5S_(BCF);`

б) `S_(BCFE)=S_(BCF)+S_(BFE)=3/5S_(BCE)+S_(BCF);`

в) `S_(BCE)+3/5S_(BCF)=3/5S_(BCE)+S_(BCF) quad => quad S_(BCE)=S_(BCF) quad => quad BC parallel FE parallel AD quad => quad ABCD quad - quad` трапеция.

4. `S_(AOD):S_(EOF):S_(BOC)=(AD)^2:(FE)^2:(BC)^2=1:9:25 quad => quad S_(BOC)=(25)/(24)S_(ABCD)=(25)/(24)S, quad S_(AEFD)=8/(25)S_(BOC)=1/3S.`

5. `(S_(AFD))/(S_(AED))=(AD)/(FE)=1/3 quad => quad (S_(AFD))/(S_(AEFD))=1/4 quad => quad S_(AFD)=1/(12)S quad => quad S_(ABCF)=(11)/(12)S.`


Вложения:
Выпуклый четыреугольник Марина.pdf [14.64 KIB]
Скачиваний: 644

_________________
Никуда не тороплюсь!
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырёхугольник
 Сообщение Добавлено: 04 авг 2015, 22:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:21
Сообщений: 2651
Откуда: Москва
Юрий Владимирович, OlG, спасибо за Ваши решения! @};-
Буду разбираться.
Решение от составителей
Подробности:


Вложения:
Задача 5.pdf [209.91 KIB]
Скачиваний: 536
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Выпуклый четырёхугольник
 Сообщение Добавлено: 05 авг 2015, 09:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Марина писал(а):
Буду разбираться.
Решение от составителей

Если четырехугольник - параллелограмм, то `h_1=h_2=h_3` и нарушаются соотношения между высотами, полученные составителями в начале решения.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: