Автор |
Сообщение |
epimkin
|
Заголовок сообщения: Прямоугольный треугольник Добавлено: 12 янв 2016, 13:38 |
|
Зарегистрирован: 16 янв 2013, 16:00 Сообщений: 1051
|
На одном ( даже на двух) была опубликована задача, которую толком никто и не решил. Может она хорошо и не решается, а может известна в определенных кругах. Попробуйте, у кого есть желание. Сама задача: в прямоугольном треугольнике из острых углов проведены биссектрисы , длины которых 3 и 4 см. Найти длину гипотенузы
|
|
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 12 янв 2016, 20:25 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
epimkin писал(а): На одном ( даже на двух) была опубликована задача, которую толком никто и не решил. Может она хорошо и не решается, а может известна в определенных кругах. Попробуйте, у кого есть желание. Сама задача: в прямоугольном треугольнике из острых углов проведены биссектрисы , длины которых 3 и 4 см. Найти длину гипотенузы Эта задача сводится к решению системы уравнений `{(a^2+b^2=c^2),(16=(2ca^2)/(a+c)),(9=(2cb^2)/(b+c)):}`, которая приводит к решению уравнения 6-й степени. Численное решение `a~~3.8162;b~~2.65949;c~~4.65148` Эту систему можно свести к решению тригонометрического уравнения относительно острого угла треугольника `(1+sinalpha)/(1+cosalpha)=9/16tg^2alpha)`, которое тоже сводится решению уравнения 6-ой степени. Численное решение `alpha~~0.96258~~55.1276^o`
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
epimkin
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 12 янв 2016, 21:09 |
|
Зарегистрирован: 16 янв 2013, 16:00 Сообщений: 1051
|
Ну, да, такое было. Может есть что-то другое, неординарное?
|
|
|
|
|
сергей королев
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 13 янв 2016, 13:52 |
|
Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21 Сообщений: 2041
|
Если острый угол треугольника обозначить `2alpha`, то `(3cos(pi/4-alpha))/(4cosalpha)=tg2alpha`, которое сводится к решению уравнения 3-й степени: `16tgalpha=3sqrt2(1+tgalpha)(1-tg^2alpha)`. Легко убедиться, что это уравнение имеет единственный корень: `0<tgalpha_0<1`. А вот, без кардана он как-то не ищется...
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 13 янв 2016, 15:28 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
сергей королев писал(а): Если острый угол треугольника обозначить `2alpha`, то `(3cos(pi/4-alpha))/(4cosalpha)=tg2alpha`, которое сводится к решению уравнения 3-й степени: `16tgalpha=3sqrt2(1+tgalpha)(1-tg^2alpha)`. Легко убедиться, что это уравнение имеет единственный корень: `0<tgalpha_0<1`. А вот, без кардана он как-то не ищется... Вот "сергей королев" и поставил все точки над и , получив аналитическое решение задачи в элементарных функциях. У меня несколько другое уравнение получилось, но это по-видимому связано с тем, что я брал другой угол прямоугольного треугольника. Проверил мой острый угол `~55.127^o `совпадает с углом полученным ранее. Теперь тангенс половинного острого угла имеет аналитическое решение (выписывать не буду) и через него можно найти гипотенузу.
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
сергей королев
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 13 янв 2016, 15:43 |
|
Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21 Сообщений: 2041
|
Я брал за `2alpha` острый угол, содержащий биссектрису, равную 4.
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 13 янв 2016, 16:08 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
сергей королев писал(а): Я брал за `2alpha` острый угол, содержащий биссектрису, равную 4. А у меня через `alpha`обозначен угол с биссектрисой 3. Поэтому и уравнения несколько отличаются. Это не принципиально. У вас должно получиться `2alpha~~34.873^o`.
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
epimkin
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 13 янв 2016, 16:22 |
|
Зарегистрирован: 16 янв 2013, 16:00 Сообщений: 1051
|
3t=(√2)(1+t)(1−t^2), где t=tg(a/2),a-угол, биссектриса которого равна 3. На одном из форумов. Вот такое уравнение получилось. Видно ничего приличного не получается. Спасибо всем
|
|
|
|
|
vev
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 14 янв 2016, 18:23 |
|
Зарегистрирован: 14 янв 2016, 18:18 Сообщений: 3
|
Угол между биссектрисами 135 градусов, а дальше теорема косинусов
|
|
|
|
|
Сан Саныч
|
Заголовок сообщения: Re: Прямоугольный треугольник Добавлено: 14 янв 2016, 22:58 |
|
Зарегистрирован: 26 фев 2011, 22:10 Сообщений: 3180
|
vev писал(а): Угол между биссектрисами 135 градусов, а дальше теорема косинусов "Обоснуй, отрок" (с) анекдот
|
|
|
|
|
|
|
|