Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 16:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53
Сообщений: 695
Может кому будет интересно ознакомиться с векторным решением стереометрических задач. Именно не координатным, а векторным!

Рассмотрим Задачу 14. Вариант 208.

На диагонали `AB_1` грани `ABB_1A_1` треугольной призмы с основанием `ABC` взята точка `M` так, что `AM:MB_1=5:4`.  
а)  Постройте  сечение  призмы  плоскостью,  проходящей  через  точку  `M`,  параллельно 
диагоналям `A_1C` и `BC_1`  двух других граней. 
б) Найдите  в каком отношении плоскость сечения делит ребро `C C_1`. 

Так как тут нет никаких длин и углов, то естественно решить задачу векторно. В основе данного решения лежат 3 простых факта.

Ф1. Если даны две точки `A` и `B`, то любая точка `P`, лежащая на прямой `AB`имеет вид `\lambda\vec{AB}`. Тут `\lambda` любое число, причём если `\lambda\in(0,\ 1)`, то `P` лежит между `A` и `B.`

Ф2. Если вектор `\vec{p}` компланарен плоскости, проходящей через вектора `\vec{x}` и `\vec{y}`, то он имеет вид `\vec{p}=\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}`. (Тут `\alpha` и `\beta` любые числа).

Ф3. Если три вектора `\vec{x}`, `\vec{y}` и `\vec{z}` некомпланарны и `\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}+\gamma\vec{z}=0`, то все три числа `\alpha`, `\beta` и `\gamma` равны 0.

Ну, теперь, собственно, решение. Причём мы будем решать сразу пункт б), а пункт а) получится почти "автоматически"! И рисунок нам не понадобится!

Пусть `\vec{AB}=\vec{x}`, `\vec{AC}=\vec{y}`, `\vec{A A_1}=\vec{z}` (тут ничего эдакого, просто обозначения). Зато теперь: `\vec{AB_1}=\vec{x}+\vec{z}`, `\vec{A_1C}=\vec{y}-\vec{z}`, `\vec{BC_1}=-\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}`.

Далее: `\vec{AM}=\mu(\vec{x}+\vec{z})` (Ф1). Число `\mu=\frac{5}{9}` нам дано в условии, но мы его подставим потом. Пусть `\pi` -- требуемая плоскость и она пересекает отрезок `C C_1` в точке `K`. Аналогично (опять Ф1), `\vec{CK}=\lambda\vec{z}`. Собственно, число `\lambda` нам и надо найти.

Вектор `\vec{MK}` имеет вид
$$\vec{MK}=\vec{MA}+\vec{AC}+\vec{CK}=-\mu(\vec{x}+\vec{z})+\vec{y}+\lambda\vec{z}.$$
С другой стороны, он компланарен двум диагоналям и поэтому имеет вид (Ф2)
$$\vec{MK}=\alpha(\vec{y}-\vec{z})+\beta(-\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}).$$
Сравнивая эти два выражения (в силу Ф3) получим систему
$$-\beta=-\mu;\ \alpha+\beta=1;\ \beta-\alpha=\lambda-\mu.$$
Откуда и получаем, что `\lambda=3\mu-1=\frac{2}{3}`. Ну, а требуемое отношение получим так: `\frac{CK}{KC_1}=\frac{\lambda}{1-\lambda}=\frac{3\mu-1}{2-3\mu}=2:1` (вот тут и подставили данное `\mu`).

Пункт а) теперь решается построением плоскости `\pi`. Сначала ставим точку `K`, потом через неё проводим прямую, параллельную диагонали `BC_1` и так далее...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 17:19 
Не в сети

Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21
Сообщений: 1947
По своему опыту знаю, что буквально единицы школьников прибегают к чисто векторному методу доказательства. В основном это те, кто прошел через ВЗФТШ (заочная школа при физтехе). А вот, метод координат в стереометрии любят многие.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 17:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1645
сергей королев писал(а):
По своему опыту знаю, что буквально единицы школьников прибегают к чисто векторному методу доказательства. В основном это те, кто прошел через ВЗФТШ (заочная школа при физтехе). А вот, метод координат в стереометрии любят многие.


Чисто аффинные задачи чаще встречаются в планиметрии. И там векторам есть много конкурентов - теорема Чевы, геометрия масс, греческая классика.

В стереометрии все те же конкуренты тоже актуальны, плюс метод координат.

Ну и не так уж много аффинных задач обычно попадается школьнику. Да и вектора в их чистом безкоординатном виде преподают не везде, хоть они и есть в программе.

*******************************

А вот много ли учеников понимает, что если задача чисто аффинная, то можно взять и объявить любую тройку независимых векторов ортонормированной - большой вопрос?

Но если кто понимает и сделал подобным образом, то дальше он, скорее всего, просто тупо посчитает ответ, в координатах или нет - уже дело десятое.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 18:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 дек 2012, 21:53
Сообщений: 695
alex123 писал(а):
А вот много ли учеников понимает, что если задача чисто аффинная, то можно взять и объявить любую тройку независимых векторов ортонормированной - большой вопрос?

Но если кто понимает и сделал подобным образом, то дальше он, скорее всего, просто тупо посчитает ответ, в координатах или нет - уже дело десятое.
Хм, представляю, как некий ученик, решая эту конкретную задачу, напишет:

Так как задача чисто афинная, то без ограничения общности будем считать (1) исходную призму прямой, и (2) то, что в основании ее лежит прямоугольный треугольник.

И далее обычное геометрическое решение. Зачтут на ЕГЭ?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 13 ноя 2017, 18:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1645
voloch писал(а):
alex123 писал(а):
А вот много ли учеников понимает, что если задача чисто аффинная, то можно взять и объявить любую тройку независимых векторов ортонормированной - большой вопрос?

Но если кто понимает и сделал подобным образом, то дальше он, скорее всего, просто тупо посчитает ответ, в координатах или нет - уже дело десятое.
Хм, представляю, как некий ученик, решая эту конкретную задачу, напишет:

Так как задача чисто афинная, то без ограничения общности будем считать (1) исходную призму прямой, и (2) то, что в основании ее лежит прямоугольный треугольник.

И далее обычное геометрическое решение. Зачтут на ЕГЭ?


Скорее всего зачтут, но риск апелляции есть. Впрочем, на апелляции зачтут точно, так что риск только нервотрепки.

А, учитывая то, что скорее всего такой трюк выкинет неплохой ученик, у него и остальной экзамен будет написан на хорошем уровне. А к таким стараются не придираться без необходимости. И, в спорных случаях, советоваться с коллегами.

Так что риск минимален.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Векторный метод в стереометрии (один пример)
 Сообщение Добавлено: 14 ноя 2017, 12:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1609
Откуда: Москва
Хочу продолжить тему, еще один пример- из книги Калинина и Терешина, векторный метод, на мой взгляд ,здесь оптимальный


Вложения:
Без названия.pdf [462.96 KIB]
Скачиваний: 48

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: