Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия




 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу Пред.  1, 2



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 09:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Автокад на максимальной точности не совсем согласен с Маткадом.

Вложение:
080818.png
080818.png [ 30 KIB | Просмотров: 1143 ]


Если Вам не сложно, укажите метод согласно которому Вы строили третью окружность касательную к паре касающихся, при условие что вся тройка касается внешним образом.
Я использовал метод давным давно обнаруженный мною при решении иной задачи, не знаю классический он или нет, но автокад опять же утверждает что он железно работает. Как для внешнего центра гомотетии, так и для внутреннего.

Вложение:
080818 2.png
080818 2.png [ 12.56 KIB | Просмотров: 1143 ]


Для начала рассмотрим варианты касания трех окружностей заданных на плоскости:
`A+B` - окружность `C` касается окружностей `A` и `B` внешним образом; ;
`(A)+B` - окружность `C` касается окружности `A` внутренним и `B` внешним образом;
`A+(B)` - окружность `C` касается окружности `B` внутренним и `A` внешним образом;
`(A+B)` - окружность `C` касается окружностей `A` и `B` внутренним образом.

Вернемся к нашим баранам:
Пусть на плоскости задана пара окружностей, не важно касающаяся или пересекающая друг друга. Если у пары окружностей есть внешний либо внутренний центр гомотетии, то построить все (на мой взгляд естественно) касающиеся их окружности (ни одним из известных мне способов, включая инверсию, построить любую окружность касающуюся двух заданных отличным от данного метода способом мне не удалось) можно следующим образом:
1. Из центра гомотетии `P_{A+B}` проводим секущую пересекающую `A` и `B`.
2. Если выбран внешний центр гомотетии, то берем на окружности либо 2 соседних (как на нашем рисунке) точки и получаем соответственно `A+B` точки `2+3`, либо 2 крайних точки, при этом получим вариант `(A+B)` точки `1+4`.
3. Если же выбран внутренний центр гомотетии, то выбираем точки через одну `1+3` либо `2+4` получив при этом 2 оставшихся варианта касающихся окружностей `(A)+B` и `A+(B)`.

Автокад на максимальной точности, а так же геогебра не видят иных точек пересечения окружностей при построении окружностей касающихся двойки данным методом.

Соответственно на рисунке имеем:
`P_{A+B}K^2=P_{A+B}E*P_{A+B}F`осталось геометрически, либо алгебраически доказать, либо опровергнуть то, что `P_{A+B}K=P_{A+B}D`.

То что общая касательная для заданной окружности `C`, а так же для окружностей касающихся `A`, `B` и `C` внешним `D` либо внутренним `E` образом, должна проходить именно через точку `P_{A+B}` отдельная задача, но автокад опять же с этим согласен.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 10:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
Автокад на максимальной точности не совсем согласен с Маткадом.

Вложение:
Вложение 080818.png больше недоступно.


Если Вам не сложно, укажите метод согласно которому Вы строили третью окружность касательную к паре касающихся, при условие что вся тройка касается внешним образом.

При дробнолинейном преобразоании `w=-1/z` относительно точки N, принтой за 0, окружности В и D переходят в две параллельные прямые, а окружноси С и A в две одинаковые окружности, касающиеся точке К и расположенне между параллельными прямыми.
Вложение:
5_1 окр.png
5_1 окр.png [ 7.35 KIB | Просмотров: 1131 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 11:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
vyv2 писал(а):
При дробнолинейном преобразоании `w=-1/z` относительно точки N, принтой за 0, окружности В и D переходят в две параллельные прямые, а окружноси С и A в две одинаковые окружности, касающиеся точке К и расположенне между параллельными прямыми.

Тут уже начинают сказываться пробелы в моем образовании. Про "дробнолинейное преобразоание" я почитаю, но визуально ваше на 100 процентов отображает инверсию, относительно точки касания окружности `D` либо `E` к любой из тройки заданных.

Вложение:
080818 3.png
080818 3.png [ 21.25 KIB | Просмотров: 1120 ]


Окружность касающуюся тройки внутренним образом не достраивал, так как при инверсии относительно окружности `E` с центром в точке `O`, которая является точкой касания окружностей `A` и `B` её построение очевидно.

Убрав лишние построения и достроив центры гомотетии мы получим:

Вложение:
080818 4.png
080818 4.png [ 18.13 KIB | Просмотров: 1120 ]


Построив внешние центры гомотетии мы убеждаемся что метод секущей продолжает работать.

Но это все конечно не доказанные результаты полученные в чертежном приложении, не более...

Так же можно построить используя степень точки, предварительно выколов окружность меньшего радиуса и уменьшив на неё две оставшихся, сути дела это не поменяет, прямые проведенные через точки касания окружностей `A` и `B` с `D` и `M` пересекутся в внешнем центре гомотетии `A` и `B`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 20:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):

Не могли бы вы вычислить по автокад координаты точки касания К окружностей С и А и т. P - внешний центр гомотетии окружностей A и C с большой точностью для случая касающихся окружностей с радиусами:
`r_D=1 qquad r_B=0.45 qquad r_C=0.292242 qquad r_A=0.542287` или для кокого-либо другого случая расположения?

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 21:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
vyv2 писал(а):
Не могли бы вы вычислить по автокад координаты точки касания К окружностей С и А и т. P - внешний центр гомотетии окружностей A и C с большой точностью для случая касающихся окружностей с радиусами:
`r_D=1 qquad r_B=0.45 qquad r_C=0.292242 qquad r_A=0.542287` или для кокого-либо другого случая расположения?


Качаю автокад... На работу только в четверг)
Правда я еще не решал задачу построения окружности заданного радиуса, постараюсь построить.

Не хочет он качаться, построил в геогебре.... В общем результаты печальные, хоть и неоднозначные. Что это ошибка приложения, либо ошибка построения не берусь судить. В геогебре точки приклепают, прилипли именно в тех местах.

https://ibb.co/eJo6eS


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 09 май 2018, 09:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
Очевидно что геогебра не совсем подходит для подобного эксперимента.

Я выполнил построение окружности касающейся тройки внутренним образом классическим способом (степень точки). Метод опубликованный. Но ошибка существенно увеличилась, она явно несет накопительный характер. Возможно какие-то нюансы прилипания точек. Будет время попробую построить окружность инверсией и сравнить.

Радиусы тройки уже дали ошибку на единицу, причем далеко не в 15 знаке...

https://ibb.co/nkJeJn


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 09 май 2018, 12:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4894
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
Очевидно что геогебра не совсем подходит для подобного эксперимента.

Я выполнил построение окружности касающейся тройки внутренним образом классическим способом (степень точки). Метод опубликованный. Но ошибка существенно увеличилась, она явно несет накопительный характер. Возможно какие-то нюансы прилипания точек. Будет время попробую построить окружность инверсией и сравнить.

Радиусы тройки уже дали ошибку на единицу, причем далеко не в 15 знаке...

https://ibb.co/nkJeJn

Я попробую получить аналитичекие выражения для характерных точек в общем случае, но не раньше пятницы.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 09 май 2018, 14:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 233
vyv2 писал(а):
Race писал(а):
Очевидно что геогебра не совсем подходит для подобного эксперимента.

Я выполнил построение окружности касающейся тройки внутренним образом классическим способом (степень точки). Метод опубликованный. Но ошибка существенно увеличилась, она явно несет накопительный характер. Возможно какие-то нюансы прилипания точек. Будет время попробую построить окружность инверсией и сравнить.

Радиусы тройки уже дали ошибку на единицу, причем далеко не в 15 знаке...

https://ibb.co/nkJeJn

Я попробую получить аналитичекие выражения для характерных точек в общем случае, но не раньше пятницы.


Предлагаю несколько изменить предложенные Вами радиусы. Что бы не точным был только `D`. К примеру взять `1`, `2`, `3` касаются внешним образом, остается вычислить центр и радиус `D` который касается тройки внутренним образом.

Так гораздо лучше, для этой тройки внешний радиус тоже будет целочисленным и равным 6.

https://ibb.co/mR10r7 геогебра дала погрешность только в 15 знаке.

Методом с центрами гомотетии погрешность вообще нулевая.

https://ibb.co/c2POdn

Осталось как то аналитически доказать.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу Пред.  1, 2





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: