Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Геометрия




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 26 апр 2018, 11:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
На плоскости заданы три касающихся внешним образом окружности `A`, `B` и `C`.
Вложение:
260418 8.png
260418 8.png [ 15.16 KIB | Просмотров: 1239 ]

Докажите что если через центры окружностей `A` и `C` точки `D` и `F` и через точки их касания к окружности `B` точки `F` и `G` провести прямые которые пересекутся в некоторой точке `M`, то `|MJ|=|MN|=|MN'|`, где `J` точка касания окружностей `A` и `C`, а `N` и `N'` точки касания окружностей касающихся всей тройки внутренним и внешним образом к окружности `B`.

Подробности:
Обнаружил эту интересную особенность не я, построение методом инверсии, или используя степень точки очевидно, но вот столкнулся с таким лайфхаком при решении задачи вписания/описания окружности касательной тройки. Получается, что касательная к третьей и четвертой окружности выходит из внешнего центра гомотетии первой и второй и равна расстоянию от внешнего центра гомотетии до точки касания первой и второй. Причем это верно как для окружности касающейся тройки внешним так и внутренним образом.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 26 апр 2018, 19:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4763
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
На плоскости заданы три касающихся внешним образом окружности `A`, `B` и `C`.
Вложение:
260418 8.png

Докажите что если через центры окружностей `A` и `C` точки `D` и `F` и через точки их касания к окружности `B` точки `F` и `G` провести прямые которые пересекутся в некоторой точке `M`, то `|MJ|=|MN|=|MN'|`, где `J` точка касания окружностей `A` и `C`, а `N` и `N'` точки касания окружностей касающихся всей тройки внутренним и внешним образом к окружности `B`.

Подробности:
Обнаружил эту интересную особенность не я, построение методом инверсии, или используя степень точки очевидно, но вот столкнулся с таким лайфхаком при решении задачи вписания/описания окружности касательной тройки. Получается, что касательная к третьей и четвертой окружности выходит из внешнего центра гомотетии первой и второй и равна расстоянию от внешнего центра гомотетии до точки касания первой и второй. Причем это верно как для окружности касающейся тройки внешним так и внутренним образом.

Не понял: в чем проблема? Точка М однозначно оределяется пересечением FG и AF. Через точку J проводим окружность D радиусом MJ, которая касается окружностей А и С и которая пересекает FM и EF в точках N и N'. Таким образом `|MJ|=|MN|=|MN'|`, как радиусы окружности D.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 26 апр 2018, 20:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
Это по построению видно) Но если окружность не строить?
Говорю же, пока это не более чем удобный лайф хак.

Считайте что окружность не задана, а заданы точки касания четвертой и пятой окружности на окружности `B`, вот и возникает вопрос с доказательством. То что способ работает уже перепроверил надцать раз.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 26 апр 2018, 22:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4763
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):
Это по построению видно) Но если окружность не строить?
Говорю же, пока это не более чем удобный лайф хак.

Считайте что окружность не задана, а заданы точки касания четвертой и пятой окружности на окружности `B`, вот и возникает вопрос с доказательством. То что способ работает уже перепроверил надцать раз.

Ничего не понимю.
Считайте что окружность не задана - какая не задана?
заданы точки касания четвертой и пятой окружности - где пятая окружность?
Сформулируйте четко задачу, в которой надо что-то доказать.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 26 апр 2018, 22:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
С телефона сложно)
Суть задачи сформулирована в СТ под спойлером.

Требуется доказать что если из внешнего центра гомотетии первой и второй окружности построить касательные к третей (для трех окружностей касающихся друг дружку внешним образом), точки касания построенных касательных будут точками касания четвертой и пятой окружности косающихся ко всей тройке окружностей, внешним и внутренним образом, к третьей окружности.
Полученная окружность, с центром в М и радиусом MJ, всего лишь иллюстрация.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 27 апр 2018, 08:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
Добрался до компьютера. Итак:

Вложение:
270418 1.png
270418 1.png [ 11.86 KIB | Просмотров: 1138 ]


На плоскости заданы 5 окружностей `A`, `B`, `C`, `D` и `E`. Окружности `A`, `B`, `C` касаются друг друга внешним образом, `D` касается `A`, `B`, `C` внутренним образом, а `E` внешним.

Докажите что если т. `P` внешний центр гомотетии окружностей `A` и `C`, то `|PK|=|PM|=|PN|`, где `K` точка касания окружностей `A` и `C` (а так же их внутренний центр гомотетии), `M` точка касания `B` и `E`, а `N` точка касания `B` и `D`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 04 май 2018, 15:58 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
Данная задача никому не интересна, либо тривиальна?

Так же интересует вопрос, рассматривалась ли на данном форуме задача Аполлония. Ведь для её решения вполне хватает школьных знаний, а именно, теоремы о квадрате касательной (тн степени точки относительно окружности), т-мы Менелая и минимальных знаний о центрах гомотетии.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 04 май 2018, 17:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4763
Откуда: Санкт-Петербург
Несколько задач по касателным окружностям были даны здесь viewtopic.php?f=941&t=10920&start=0
и здесь viewtopic.php?f=941&t=15479

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 04 май 2018, 18:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 11 апр 2018, 16:30
Сообщений: 167
Спасибо! Обязательно посмотрю. К сожалению некоторые моменты в построении я использую в темную, без доказательства, потому и возник вопрос.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 04:28 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4763
Откуда: Санкт-Петербург
Race писал(а):

На плоскости заданы 5 окружностей `A`, `B`, `C`, `D` и `E`. Окружности `A`, `B`, `C` касаются друг друга внешним образом, `D` касается `A`, `B`, `C` внутренним образом, а `E` внешним.

Докажите что если т. `P` внешний центр гомотетии окружностей `A` и `C`, то `|PK|=|PM|=|PN|`, где `K` точка касания окружностей `A` и `C` (а так же их внутренний центр гомотетии), `M` точка касания `B` и `E`, а `N` точка касания `B` и `D`.

Для частного случая , вычисляя с большой точностью в MathCadе, не получил равенство `|PK|=|PN|`.
Конечно я мог допустить ошибку. Если есть желание поискать ошибку, то я могу выслать по e-mail файл и написать к нему пояснения, если они потребуются.
Частный случай при конкретных значениях радиусов окружностей В и С, которые можно менять в MathCadе:
Вложение:
5 окр.png
5 окр.png [ 25.9 KIB | Просмотров: 801 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: