Автор |
Сообщение |
Федор
|
Заголовок сообщения: Планиметрия Добавлено: 16 окт 2010, 18:20 |
|
Зарегистрирован: 16 окт 2010, 18:08 Сообщений: 90
|
Помогите решить задачу:
В трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 8 : 1. В трапецию вписана окружность, которая касается боковой стороны CD в точке К, причем CK : KD = 5 : 4. Найдите отношение длин боковых сторон АВ и CD.
Спасибо!
|
|
 |
|
|
|
|
Sensile
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 16 окт 2010, 20:59 |
|
Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:05 Сообщений: 134
|
Чертеж у меня как-то не получается сделать точно как в условии. Да и решение корявое какое-то О- центр окружности Пусть Е точка касания с АВ, М - точка касания с ВС, Т - точка касания с AD По условию можно положить СК=5х, КD=4х Пусть АЕ=b, ЕВ=а. Тогда ВМ=а, AT=b, CM=5x, DT=4x (равенство касательных проведенных из одной точки) Нам надо найти `(a+b)/(9x)=(1/9)(a/x+b/x)` ВС=а+5х, AD=b+4x Условие записывается как `8(a+5x)=b+4x` или `b-8a=36x` или `b/x-8a/x-36=0`(1) Кроме того, треугольники АОВ и СОD - прямоугольные, радиусы, проведенные в точку касания являются высотами в прямоугольных треугольниках, поэтому по свойству таких высот `r^2=OK^2=20x^2` И аналогично `r^2=OE^2=ab` Поэтому `ab=20x^2` или `a/x*b/x=20` (2) (1) и (2) дают систему относительно `a/x` и `b/x` Решаем, затем находим `(1/9)(a/x+b/x)` ==== Думаю, что есть проще решение
|
|
 |
|
|
admin
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 16 окт 2010, 21:15 |
|
 |
Администратор |
|
Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00 Сообщений: 5522
|
Sensile, добрый вечер! Спасибо за решение. Я бы выразил радиус через `x`, а потом, проведя высоту нашел бы второе соотношение для наших переменных. В принципе, это одно и то же.
|
|
 |
|
|
Sensile
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 16 окт 2010, 21:32 |
|
Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:05 Сообщений: 134
|
Добрый вечер! Я как всегда все, наверное, усложняю=)
|
|
 |
|
|
Федор
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 17 окт 2010, 07:15 |
|
Зарегистрирован: 16 окт 2010, 18:08 Сообщений: 90
|
А почему треугольника AOB и COD - прямоугольные
|
|
 |
|
|
Гость
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 17 окт 2010, 09:06 |
|
|
В точке O находится центр вписанной окружности, поэтому AO -...угла A, а BO - ... угла B трапеции. Сумма углов A и B трапеции равна ... (они прилежащие к боковой стороне трапеции). Заполните пропуски нужными словами и числами и ответ на Ваш вопрос получен.
|
|
 |
|
|
scorpion
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 17 окт 2010, 17:19 |
|
Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29 Сообщений: 2322 Откуда: Саранск
|
Я обозначила основания трапеции х и 8х.СЛ=5у,КD=4у.По свойствам касательных нахожу АВ=9(х-у).Заметим,что угол С трапеции острый.Высота `h^2=80y^2` По теореме Пифагора `81(x-y)^2=80y^2+(7x+y)^2` Отношение 9(х-у)/9у=х/у-1 (Дальше шел неверный результат,который я удалила) Если,конечно,замученная заочниками, правильно посчитала. Вывод; заочники вредят здоровью хуже сигарет. Считайте сами.
_________________ Эмоции - это не аргумент
Последний раз редактировалось scorpion 18 окт 2010, 15:03, всего редактировалось 1 раз.
|
|
 |
|
|
uStas
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 18 окт 2010, 12:21 |
|
Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж
|
Ответ. `(AB)/(CD) = 9/2`.
|
|
 |
|
|
scorpion
|
Заголовок сообщения: Re: Планиметрия Добавлено: 18 окт 2010, 14:58 |
|
Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29 Сообщений: 2322 Откуда: Саранск
|
Каюсь,посчитала неверно. uStas,спасибо! 
_________________ Эмоции - это не аргумент
|
|
 |
|
|
|
|
|