Помогите решить задачу:

В трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 8 : 1. В трапецию вписана окружность, которая касается боковой стороны CD в точке К, причем CK : KD = 5 : 4. Найдите отношение длин боковых сторон АВ и CD.

Спасибо!

Чертеж у меня как-то не получается сделать точно как в условии. Да и решение корявое какое-то
О- центр окружности
Пусть Е точка касания с АВ, М - точка касания с ВС, Т - точка касания с AD
По условию можно положить СК=5х, КD=4х
Пусть АЕ=b, ЕВ=а. Тогда ВМ=а, AT=b, CM=5x, DT=4x (равенство касательных проведенных из одной точки)
Нам надо найти `(a+b)/(9x)=(1/9)(a/x+b/x)`
ВС=а+5х, AD=b+4x
Условие записывается как `8(a+5x)=b+4x` или `b-8a=36x` или `b/x-8a/x-36=0`(1)
Кроме того, треугольники АОВ и СОD - прямоугольные, радиусы, проведенные в точку касания являются высотами в прямоугольных треугольниках, поэтому по свойству таких высот `r^2=OK^2=20x^2`
И аналогично `r^2=OE^2=ab`
Поэтому `ab=20x^2` или `a/x*b/x=20` (2)
(1) и (2) дают систему относительно `a/x` и `b/x`
Решаем, затем находим `(1/9)(a/x+b/x)`
====
Думаю, что есть проще решение

Sensile, добрый вечер! Спасибо за решение. Я бы выразил радиус через `x`, а потом, проведя высоту нашел бы второе соотношение для наших переменных. В принципе, это одно и то же.

Добрый вечер!
Я как всегда все, наверное, усложняю=)

А почему треугольника AOB и COD - прямоугольные

В точке O находится центр вписанной окружности, поэтому AO -...угла A, а BO - ... угла B трапеции. Сумма углов A и B трапеции равна ... (они прилежащие к боковой стороне трапеции). Заполните пропуски нужными словами и числами и ответ на Ваш вопрос получен.

Я обозначила основания трапеции х и 8х.СЛ=5у,КD=4у.По свойствам касательных нахожу
АВ=9(х-у).Заметим,что угол С трапеции острый.Высота `h^2=80y^2`
По теореме Пифагора
`81(x-y)^2=80y^2+(7x+y)^2`
Отношение
9(х-у)/9у=х/у-1 (Дальше шел неверный результат,который я удалила)
Если,конечно,замученная заочниками, правильно посчитала.
Вывод; заочники вредят здоровью хуже сигарет.
Считайте сами.

_________________
Эмоции - это не аргумент

Ответ. `(AB)/(CD) = 9/2`.

Каюсь,посчитала неверно.uStas,спасибо!

_________________
Эмоции - это не аргумент