Если выразить `y` из второго уравнения и подставить в первое, получим уравнение: `log_a(sqrt(y+1))=y^2` . Поскольку квадратный корень и степень с положительным рациональным показателем, равным (1/2), суть тождественные операции, равносильным переходом получим уравнение: `log_a(y+1)=2*y^2`. Составим две функции: `z_1(y)=log_a(y+1)` и `z_2(y)=2*y^2`. Изобразим эти функции на общей системе координат `(yOz)`. `z_1` - типовая логарифмическая функция, смещенная на одну единицу против направления оси (y). Если `0<a<1` , то лог. функция убывает, если `a>1` - возрастает. `z_2` - квадратичная парабола, вытянутая в два раза вдоль оси (`z`).
Очевидно, требуется рассмотреть отдельно два случая (`0<a<1`) и (`a>1`).
Случай (`a>1`):
Исследуем точки пересечения функций только в правой полуплоскости системы координат (`у>=0`), так как в левой ее части функции не пересекаются. Может иметь место мнение, что при достаточно большом значении (a) правая ветвь параболы и верхняя ветвь логарифмической функции сразу после нуля "разойдутся не пересекаясь". Однако это не так. Действительно, на бесконечно малом расстоянии справа от нуля, парабола изменяется в направлении горизонтальной прямой (z=0), так как производная (следовательно, угловой коэффициент касательной) в точке y=0 также равна нулю. А логарифмическая функция (это, кстати, сразу видно из графика) изменяется в направлении прямой, имеющей ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ НЕНУЛЕВОЙ наклон, поскольку `(dz1)/(dy) = 1/[(y+1)ln(a)], a>1, y>0 ---> (dz1)/(dy)>0` . Итак, в малой окрестности начала координат, логарифмоида растет быстрее параболы, значит, в данной окрестности функция z1 будет располагаться выше z2. Далее, с учетом того факта, что парабола направлена выпуклостью вниз (вогнута), а логарифмоида - выпуклостью вверх (выпукла), то вскоре, грубо говоря, z1 "уйдет" под z2, что означает вторую точку пересечения ПРИ ЛЮБОМ a>1. Однако, если точка пересечения находится правее y=9, то, согласно второму уравнению (x^2-6*x+y=0), система не будет иметь ВЕЩЕСТВЕННЫХ решений в данной точке. Итак, значения параметра (а) ограничены числом "корень 162-го порядка из 10-ти" (`root(162)(10)`).
Наконец, очевидно, при a > rt162(10) точка пересечения будет левее точки y=9 (бОльшие основания дают меньшие значения логарифма, следовательно, точка пересечения будет уходить влево), а при a < rt162(10) - правее. Точки пересечения, лежащие правее у=9, не удовлетворяют системе, что означает наличие только одной точки пересечения у=0, которая, в свою очередь, означает требуемую пару решений (0 ; 0), (6 ; 0). Таким образом, на множестве (1 ; 00) искомые значения параметра принадлежат интервалу ( 1 ; rt162(10) ).
Замечание: при a = rt162(10) решений будет ЧЕТЫРЕ (если придерживаться классической точки зрения о наличии РОВНО двух корней квадратного уравнения при любом значении дискриминанта - разных вещественных, одинаковых вещественных и комплексно сопряженных) или ТРИ (если придерживаться точки зрения о наличии одного двукратного вещественного корня при условии D=0). Поэтому, данное граничное значение параметра в искомое множество решений не входит.
Случай (0<a<1).
Очевидно, здесь требуется лишь анализ левой полуплоскости системы координат (у<=0). Этот случай сложнее, так как здесь обе функции (z1, z2) вогнуты, и здесь может иметь место вариант с тремя точками, двумя точками или одной тривиальной точкой пересечения (0 ; 0). В малой окрнстности начала координат, по аналогии с предыдущим случаем, z1 лежит выше z2. Требуется найти условие, при котором скорость изменения логарифмоиды во всех точках интервала (-1 ; 0) была бы по модулю не ниже, чем у параболы. Так как скорости изменения обеих функций в этом интервале отрицательны, берем условие: `(dz1)/(dy) < (dz2)/(dy)` . Это неравенство приводит нас к условию
(1/ln(а)) <= 4y*(y+1).
Ну а дальше все очевидно: находим наименьшее значение функции z3(y) = 4y*(y+1) на интервале (-1 ; 0). Оно равно (-1). Граничное значение для параметра (а) находим из условия 1/ln(a) = -1. Получим: а(гранич.)=1/e. Очевидно, все значения параметра (а), большие граничного, тоже удовлетворяют
. Окончательно, получим: значения (а) удовлетворяют интервалу [(1/e) ; 1).
Ответ: объединение `(a in [ (1/e) ; 1 ) ), (a in ( 1 ; rt162(10) )`
P.S.: может где и ошибся, но инфа все равно должна помочь.