Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2010, 22:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834
Долго мучаюсь с задачей на рисунке. Сомневаюсь в ответе:
0 < a < 1или 1 < a < корня 162 степени из 10. Знаю как получить этот корень. Загвозка в нахождении значения m ну и далее, соответствующего a. Просто получается неразрешимое уравнение (трансцендентное). А может быть я серьёзно ошибаюсь.
Счастливо!


Вложения:
С5(тр2).jpg
С5(тр2).jpg [ 117.72 KIB | Просмотров: 6879 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 03 сен 2010, 23:04 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5503
Если преобразовать первое уравнение к виду `sqrt(y+1)=a^(y^2)` и посмотреть графики левой и правой частей, то при `a in (1;oo)` точек пересечения две, причем одна из них `y=0` , а вот если вторая окажется больше, чем 9, то дискриминант квадратного уравнения `x^2-6x+y=0` будет отрицательным и решений системы будет 2 - только для `y=0` .
Если оценить графически условие, что одна из точек пересечения больше 9, то получаем такую картину
Вложение:
Безымянный2.JPG
Безымянный2.JPG [ 10.57 KIB | Просмотров: 6871 ]

В этом случае значение `sqrt(9+1)>a^(9^2)` отсюда и условие, что `a<10^(1/162)`
А вот при `a in (0;1)` имеем такую картину
Вложение:
Безымянный2.JPG
Безымянный2.JPG [ 9.57 KIB | Просмотров: 6870 ]

Три точки пересечения, значит система должна иметь 6 решений :ymhug:
Например,
Код:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x%2B1%29%3D0.25^%28x^2%29

Так что с участком `(0;1)` надо мудрить, отлавливая точку касания.
Ведь
Код:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x%2B1%29%3D0.5^%28x^2%29

Касание будет приблизительно при a=0.2929645283
Думаю, что аффтары задачки серьезно накосячили


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 04 сен 2010, 08:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834
Спасибо!!! Вы подтвердили результаты моих исследованй! Я рассуждал немного по другому, но прблжённое значене а - такое же! Это наглядно иллюстрируется с помощью advanced grap her


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 04 сен 2010, 08:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834
Думаю Вы поняли, что эта задача из нового сборника Ященко и другие


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 04 сен 2010, 13:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июл 2010, 00:19
Сообщений: 67
:angry-banghead:


Последний раз редактировалось tasja 04 сен 2010, 21:44, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 17 окт 2010, 23:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 окт 2010, 20:21
Сообщений: 3
Если выразить `y` из второго уравнения и подставить в первое, получим уравнение: `log_a(sqrt(y+1))=y^2` . Поскольку квадратный корень и степень с положительным рациональным показателем, равным (1/2), суть тождественные операции, равносильным переходом получим уравнение: `log_a(y+1)=2*y^2`. Составим две функции: `z_1(y)=log_a(y+1)` и `z_2(y)=2*y^2`. Изобразим эти функции на общей системе координат `(yOz)`. `z_1` - типовая логарифмическая функция, смещенная на одну единицу против направления оси (y). Если `0<a<1` , то лог. функция убывает, если `a>1` - возрастает. `z_2` - квадратичная парабола, вытянутая в два раза вдоль оси (`z`).

Очевидно, требуется рассмотреть отдельно два случая (`0<a<1`) и (`a>1`).

Случай (`a>1`):
Исследуем точки пересечения функций только в правой полуплоскости системы координат (`у>=0`), так как в левой ее части функции не пересекаются. Может иметь место мнение, что при достаточно большом значении (a) правая ветвь параболы и верхняя ветвь логарифмической функции сразу после нуля "разойдутся не пересекаясь". Однако это не так. Действительно, на бесконечно малом расстоянии справа от нуля, парабола изменяется в направлении горизонтальной прямой (z=0), так как производная (следовательно, угловой коэффициент касательной) в точке y=0 также равна нулю. А логарифмическая функция (это, кстати, сразу видно из графика) изменяется в направлении прямой, имеющей ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ НЕНУЛЕВОЙ наклон, поскольку `(dz1)/(dy) = 1/[(y+1)ln(a)], a>1, y>0 ---> (dz1)/(dy)>0` . Итак, в малой окрестности начала координат, логарифмоида растет быстрее параболы, значит, в данной окрестности функция z1 будет располагаться выше z2. Далее, с учетом того факта, что парабола направлена выпуклостью вниз (вогнута), а логарифмоида - выпуклостью вверх (выпукла), то вскоре, грубо говоря, z1 "уйдет" под z2, что означает вторую точку пересечения ПРИ ЛЮБОМ a>1. Однако, если точка пересечения находится правее y=9, то, согласно второму уравнению (x^2-6*x+y=0), система не будет иметь ВЕЩЕСТВЕННЫХ решений в данной точке. Итак, значения параметра (а) ограничены числом "корень 162-го порядка из 10-ти" (`root(162)(10)`).

Наконец, очевидно, при a > rt162(10) точка пересечения будет левее точки y=9 (бОльшие основания дают меньшие значения логарифма, следовательно, точка пересечения будет уходить влево), а при a < rt162(10) - правее. Точки пересечения, лежащие правее у=9, не удовлетворяют системе, что означает наличие только одной точки пересечения у=0, которая, в свою очередь, означает требуемую пару решений (0 ; 0), (6 ; 0). Таким образом, на множестве (1 ; 00) искомые значения параметра принадлежат интервалу ( 1 ; rt162(10) ).

Замечание: при a = rt162(10) решений будет ЧЕТЫРЕ (если придерживаться классической точки зрения о наличии РОВНО двух корней квадратного уравнения при любом значении дискриминанта - разных вещественных, одинаковых вещественных и комплексно сопряженных) или ТРИ (если придерживаться точки зрения о наличии одного двукратного вещественного корня при условии D=0). Поэтому, данное граничное значение параметра в искомое множество решений не входит.

Случай (0<a<1).
Очевидно, здесь требуется лишь анализ левой полуплоскости системы координат (у<=0). Этот случай сложнее, так как здесь обе функции (z1, z2) вогнуты, и здесь может иметь место вариант с тремя точками, двумя точками или одной тривиальной точкой пересечения (0 ; 0). В малой окрнстности начала координат, по аналогии с предыдущим случаем, z1 лежит выше z2. Требуется найти условие, при котором скорость изменения логарифмоиды во всех точках интервала (-1 ; 0) была бы по модулю не ниже, чем у параболы. Так как скорости изменения обеих функций в этом интервале отрицательны, берем условие: `(dz1)/(dy) < (dz2)/(dy)` . Это неравенство приводит нас к условию
(1/ln(а)) <= 4y*(y+1). (*)
Ну а дальше все очевидно: находим наименьшее значение функции z3(y) = 4y*(y+1) на интервале (-1 ; 0). Оно равно (-1). Граничное значение для параметра (а) находим из условия 1/ln(a) = -1. Получим: а(гранич.)=1/e. Очевидно, все значения параметра (а), большие граничного, тоже удовлетворяют (*). Окончательно, получим: значения (а) удовлетворяют интервалу [(1/e) ; 1).

Ответ: объединение `(a in [ (1/e) ; 1 ) ), (a in ( 1 ; rt162(10) )`

P.S.: может где и ошибся, но инфа все равно должна помочь.


Последний раз редактировалось viol 19 окт 2010, 15:59, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 18 окт 2010, 12:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2322
Откуда: Саранск
` z_1=log_a(y+1)`
при у=-1 не существует.

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 19 окт 2010, 15:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 окт 2010, 20:21
Сообщений: 3
scorpion писал(а):
` z_1=log_a(y+1)`
при у=-1 не существует.


А в чем смысл замечания?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 19 окт 2010, 15:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 окт 2010, 20:21
Сообщений: 3
Требуется найти условие, при котором скорость изменения логарифмоиды во всех точках интервала (-1 ; 0) была бы по модулю не ниже, чем у параболы. .........


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: С 5 (тр №2)
 Сообщение Добавлено: 19 окт 2010, 21:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2322
Откуда: Саранск
Замечание действительно ни к чему,просто удалить забыла. :tomato:

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - С 5 (тр №2)


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: