Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Общие вопросы




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: МГУ ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 02:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 584
Откуда: Москва
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство
$$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$
имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Подробности:
Получил $\pm\sqrt{3}$, но в ответе только отрицательное значение.. :-??


Последний раз редактировалось Kirill Kolokolcev 16 янв 2017, 04:17, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 02:44 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 3986
Откуда: Санкт-Петербург
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство
$$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$
имеет хотя бы одно решение $(t;x).$
Подробности:
Получил $\pm\sqrt{3}$, но в ответе только отрицательное значение.. :-??

Ответ должен быть отрицательным.
При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 03:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 584
Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Ответ должен быть отрицательным.
При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.

Подскажите, пожалуйста, где я не прав...

Я обозначил $(3+2\sqrt{2})^x=u>0,\, 3^t=v>0,$ причем единственным значениям $u$ и $v$ соответствуют единственные значения $x$ и $t.$ После введенных обозначений неравенство принимает вид
$1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+v^2+b^2/4+b\cdot v-\sqrt{12}\le0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}\le0.$
Рассмотрим функцию $f(u;v)=1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}.$
Ее наименьшее значение $f_\min=2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}.$
Чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы $f_\min\le0,$ то есть $2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}\le0,$ откуда $b=\pm\sqrt{3}.$


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 03:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 3986
Откуда: Санкт-Петербург
Kirill Kolokolcev писал(а):
vyv2 писал(а):
Ответ должен быть отрицательным.
При `+sqrt3` минимальное значение левой части положительно.

Подскажите, пожалуйста, где я не прав...

Я обозначил $(3+2\sqrt{2})^x=u>0,\, 3^t=v>0,$ причем единственным значениям $u$ и $v$ соответствуют единственные значения $x$ и $t.$ После введенных обозначений неравенство принимает вид
$1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+v^2+b^2/4+b\cdot v-\sqrt{12}\le0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}\le0.$
Рассмотрим функцию $f(u;v)=1/u+(b^4+12-6b^2)\cdot u+(v+b/2)^2-\sqrt{12}.$
Ее наименьшее значение $f_\min=2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}.$
Чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы $f_\min\le0,$ то есть $2\sqrt{b^4+12-6b^2}-\sqrt{12}\le0,$ откуда $b=\pm\sqrt{3}.$

Ошибка в том, что должно быть `v > 0`, а у вас при `b > 0` минимум достигается при `v=-b/2 < 0`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 03:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 584
Откуда: Москва
vyv2 писал(а):
Ошибка в том, что должно быть `v > 0`, а у вас при `b > 0` минимум достигается при `v=-b/2 < 0`.

Спасибо! Вот это я не учел! :text-goodpost:


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 09:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4304
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство
$$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$
имеет хотя бы одно решение $(t;x).$

Подробности:
Вложение:
МГУ ФНМ 2004 апрель №6.pdf [45.84 KIB]
Скачиваний: 201

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2004, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 11 янв 2017, 17:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 584
Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $b,$ при каждом из которых неравенство
$$\displaystyle (3-2\sqrt{2})^x+(b^4+12-6b^2)\cdot(3+2\sqrt{2})^x+9^t+b^2/4+b\cdot3^t-\sqrt{12}\le0$$
имеет хотя бы одно решение $(t;x).$

Подробности:
Вложение:
МГУ ФНМ 2004 апрель №6.pdf

Спасибо, OLG :-bd


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: