Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Общие вопросы




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: МГУ ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 02:41 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 573
Откуда: Москва
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство
$4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$
имеет хотя бы одно решение.
Подробности:
Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе
`{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.`
Тогда задачу можно сформулировать так:
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система
`{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}`
имеет хотя бы одно решение.

Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?


Последний раз редактировалось Kirill Kolokolcev 16 янв 2017, 04:16, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 03:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40
Сообщений: 1488
С тел неудобно набирать, что я увидела навскидку: ошибка в числе ( там 28, а не 24), а потом попробовать свести к модулю t-a


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 07:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 952
Симметрия относительно точки `t=a`.
Подробности:
`t^2-2at+11a-28<-8|t-a| `
Парабола - минимум в точке `a`, модульная - максимум.
Если есть решение `t<=a`, то есть и решение `t>=a`, и наоборот.
То есть больший корень квадратного трехчлена
`f(t)=t^2-2at+11a-28+8(t-a)`
не меньше 2.

Условие:
`f(2)<=0`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 14:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 573
Откуда: Москва
Ischo_Tatiana писал(а):
Симметрия относительно точки `t=a`.
Подробности:
`t^2-2at+11a-28<-8|t-a| `
Парабола - минимум в точке `a`, модульная - максимум.
Если есть решение `t<=a`, то есть и решение `t>=a`, и наоборот.
То есть больший корень квадратного трехчлена
`f(t)=t^2-2at+11a-28+8(t-a)`
не меньше 2.

Условие:
`f(2)<=0`

Спасибо большое! Я и не знал, что такая симметрия бывает..


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 14:58 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4164
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство
$4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$
имеет хотя бы одно решение.
Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе
`{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.`
Тогда задачу можно сформулировать так:
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система
`{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}`
имеет хотя бы одно решение.

Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?

Подробности:
Вложение:
МГУ ФНМ 2002 апрель №6.pdf [168.71 KIB]
Скачиваний: 325

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: ФНМ, 2002, задание с параметром
 Сообщение Добавлено: 12 янв 2017, 21:02 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 573
Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство
$4^x+4^{-x}+8|2^x+2^{-x}-a|+11a<26+2a(2^x+2^{-x})$
имеет хотя бы одно решение.
Пусть $2^x+2^{-x}=t\ge2.$ Тогда неравенство примет вид $t^2-2at+8|t-a|+11a-24<0 \quad {\Leftrightarrow} \quad 8|t-a|<-t^2+2at-11a+24,$ что равносильно системе
`{(8t-8a<-t^2+2at-11a+24),(8t-8a>t^2-2at+11a-24):} \quad \Leftrightarrow \quad {(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0):}.`
Тогда задачу можно сформулировать так:
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система
`{(t^2+2(4-a)t+3a-24<0),(t^2-2(4+a)t+19a-24<0),(t\ge2):}`
имеет хотя бы одно решение.

Помогите с решением последней системы, и нет ли способа легче решить данную задачу?

Подробности:
Вложение:
МГУ ФНМ 2002 апрель №6.pdf

Вот как оно легче можно было..спасибо, OLG! :text-goodpost:


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: