Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Общие вопросы




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 21 ноя 2017, 19:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06
Сообщений: 19
Помогите, пожалуйста, найти предел:

`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 21 ноя 2017, 23:10 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 360
Anka-huliganka писал(а):
Помогите, пожалуйста, найти предел:

`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n`

Для начала найдите $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 22 ноя 2017, 22:22 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06
Сообщений: 19
Огромное человеческое спасибо!
Но о том, что это предел равен `e^2`, я догадывалась.
Извините, что не сообщила этого в первом посте.
Уточняю вопрос - как вывести указанную асимптотику суммы обратных биномиальных коэффициентов?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 23 ноя 2017, 21:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 360
Anka-huliganka писал(а):
Уточняю вопрос - как вывести указанную асимптотику суммы обратных биномиальных коэффициентов?

Постепенно. Следующий шаг: понять, чему равен предел $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)^n$


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 23 ноя 2017, 22:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06
Сообщений: 19
Ага, кажется, потихоньку догоняю.
Нужно доказать, что
`sum_(k=1)^(n-1) 1/(C_n^k)<2/n+4/n^2`.
То, что эта сумма больше `2/n` очевидно.
Спасибо!
@};-


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 24 ноя 2017, 07:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 360
Anka-huliganka писал(а):
Ага, кажется, потихоньку догоняю.
Нужно доказать, что
`sum_(k=1)^(n-1) 1/(C_n^k)<2/n+4/n^2`.

Идею Вы уловили правильно, но с неравенством немножко погорячились (там не $<$, там на самом деле $\sim$ и фактически $>$). Просто замените константу $4$ на что-нибудь побольше (и не мелочитесь; хотя годится любая константа $>4$, но чем больше она будет, тем проще будет доказываться неравенство).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 24 ноя 2017, 15:23 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4402
Откуда: Санкт-Петербург
Anka-huliganka писал(а):
Помогите, пожалуйста, найти предел:

`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n`

`sum_(k=1)^n 1/(C_n^k) > 1/C_n^1+1/C_n^(n-1)+1/C_n^n=1+2/n`
При `3>=k <=n/2`, т.к. `1/C_n^3 > 1/C_n^k
`sum_(k=1)^n 1/(C_n^k) = 1/C_n^1+1/C_n^2+...+1/C_n^(n-1)+1/C_n^n < 1+2/n+(2*2)/(n(n-1))+(n-5)/C_n^3 < 1+2/n+4/(n(n-1))+(2*3*(n-5))/(n(n-1)(n-2)) < 1+2/n+10/(n(n-1))`
`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n >=lim_(n->+infty)(1+2/n)^((n/2)2)=e^2`
`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n <=lim_(n->+infty)(1+2/n+10/(n(n-1)))^((1/(2/n+10/(n(n-1))))n(2/n+10/(n(n-1))))=e^2`

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста!
 Сообщение Добавлено: 24 ноя 2017, 18:49 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06
Сообщений: 19
Спасибо!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: