Автор |
Сообщение |
Anka-huliganka
|
Заголовок сообщения: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 21 ноя 2017, 19:57 |
|
Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06 Сообщений: 37
|
Помогите, пожалуйста, найти предел:
`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n`
|
|
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 21 ноя 2017, 23:10 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Anka-huliganka писал(а): Помогите, пожалуйста, найти предел:
`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n` Для начала найдите $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$
|
|
|
|
|
Anka-huliganka
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 22 ноя 2017, 22:22 |
|
Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06 Сообщений: 37
|
Огромное человеческое спасибо! Но о том, что это предел равен `e^2`, я догадывалась. Извините, что не сообщила этого в первом посте. Уточняю вопрос - как вывести указанную асимптотику суммы обратных биномиальных коэффициентов?
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 23 ноя 2017, 21:09 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Anka-huliganka писал(а): Уточняю вопрос - как вывести указанную асимптотику суммы обратных биномиальных коэффициентов? Постепенно. Следующий шаг: понять, чему равен предел $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)^n$
|
|
|
|
|
Anka-huliganka
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 23 ноя 2017, 22:26 |
|
Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06 Сообщений: 37
|
Ага, кажется, потихоньку догоняю. Нужно доказать, что `sum_(k=1)^(n-1) 1/(C_n^k)<2/n+4/n^2`. То, что эта сумма больше `2/n` очевидно. Спасибо!
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 24 ноя 2017, 07:17 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
Anka-huliganka писал(а): Ага, кажется, потихоньку догоняю. Нужно доказать, что `sum_(k=1)^(n-1) 1/(C_n^k)<2/n+4/n^2`. Идею Вы уловили правильно, но с неравенством немножко погорячились (там не $<$, там на самом деле $\sim$ и фактически $>$). Просто замените константу $4$ на что-нибудь побольше (и не мелочитесь; хотя годится любая константа $>4$, но чем больше она будет, тем проще будет доказываться неравенство).
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 24 ноя 2017, 15:23 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
Anka-huliganka писал(а): Помогите, пожалуйста, найти предел:
`lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n` `sum_(k=1)^n 1/(C_n^k) > 1/C_n^1+1/C_n^(n-1)+1/C_n^n=1+2/n` При `3>=k <=n/2`, т.к. `1/C_n^3 > 1/C_n^k `sum_(k=1)^n 1/(C_n^k) = 1/C_n^1+1/C_n^2+...+1/C_n^(n-1)+1/C_n^n < 1+2/n+(2*2)/(n(n-1))+(n-5)/C_n^3 < 1+2/n+4/(n(n-1))+(2*3*(n-5))/(n(n-1)(n-2)) < 1+2/n+10/(n(n-1))` `lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n >=lim_(n->+infty)(1+2/n)^((n/2)2)=e^2` `lim_(n->+infty)(sum_(k=1)^n 1/(C_n^k))^n <=lim_(n->+infty)(1+2/n+10/(n(n-1)))^((1/(2/n+10/(n(n-1))))n(2/n+10/(n(n-1))))=e^2`
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
Anka-huliganka
|
Заголовок сообщения: Re: Биномиальные коэффициенты. Помогите, пожалуйста! Добавлено: 24 ноя 2017, 18:49 |
|
Зарегистрирован: 23 ноя 2016, 19:06 Сообщений: 37
|
|
|
|
|
|
|
|