Рассмотрим объемы параллелепипеда ABCDEFGH и тетраэдра BDGE.
Чтобы параллелепипед в дальнейшем изменять, построим его через команды
Объекты -
Многогранники -
Произвольная модель -
Призма. Для построения тетраэдра, вписанного в параллелепипед через команды
Линейные -
Выпуклая оболочка в диалоговом окне набираем BDGE и нажимаем ОК.
Теперь через команду
Измерения получаем результат вычисления объема параллелепипеда, через команды
Дополнительно -
Объем получаем объем тетраэдра. Сравниваем результаты.
Изменим параллелепипед. Для этого через команды
Кнопки -
Смещать точки (ЛК) щелкаем по точке Е. Появляется диалоговое окно, в котором по умолчанию выделена кнопка координаты х. Перемещаем бегунок, объем не меняется. Первый вопрос: почему? Переходим к координате у, перемещаем бегунок, объем опять не меняется. Почему? А вот по координате z с перемещением бегунка объем меняется. Почему? Зафиксируем некоторое положение бегунка и отметим для себя результат объема нового параллелепипеда. Для тетраэдра через команды
Дополнительно -
Объем получаем объем тетраэдра. Опять сравниваем объемы. Может быть, учащиеся выдвинут гипотезу, о том, что объем параллелепипеда в три раза больше объема тетраэдра.
Введем еще одну формулу для удобства, в которой объем параллелепипеда разделили на 3.
Опять меняем параллелепипед и сравниваем объемы. Убеждаемся в правильности гипотезы (теоремы).
Если вершины B, D, G и Е параллелепипеда ABCDEFGH являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство `V_(ABCDEFGH)=3*V_(BDGE)` .
Доказательство теоремы см. на стр. 76-77 в пособии
http://alexlarin.net/ege/2011/C2-2011.pdf