Существуют пространственные аналоги известных планиметрических теорем. Например, оттолкнемся от теоремы Пифагора. Прямоугольный треугольник заменим прямоугольным тетраэдром, длины сторон треугольника заменим площадями граней тетраэдра. Рабочая гипотеза: квадрат площади грани, противолежащей вершине с плоскими прямыми углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней.
С помощью компьютерной программы проверим рабочую гипотезу. Для этого построим прямоугольный тетраэдр по координатам, например, через команды
Точка -
Координаты введем точки А(0;0;0), В(4;0;0), С(0;5;0), D(0;0;6). Затем через команды
Линейные -
Выпуклая оболочка получаем тетраэдр АВСD. Через команду
Измерения в диалоговом окне набираем две формулы (см. рисунок), нажимаем Enter. Формулы появляются на экране. Сразу обращаем внимание, что результаты измерений одинаковы. Сместим вершину D. Для этого через команды
Кнопки -
Смещение точки (ЛК) щелкаем левой клавишей по точке D, появляется диалоговое окно. В этом окне выбираем координату z и бегунком смещаем точку D. Наблюдаем за результатом измерений - одинаковые.
Выдвигаем гипотезу (
пространственная теорема Пифагора): если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра - прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Доказательство теоремы см. в учебнике Атанасяна, 2009 год, стр. 66-67.
Теперь будем искать другие аналоги.