Прошу опытных участников проверить решения. Заранее благодарен!
18. Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2 + (x-1) * sqrt(2x-a) = x` имеет ровно один корень на отрезке `[0; 1]`.
Подробности:
Решение: Перепишем уравнение в виде `(x-1)(x+sqrt(2x-a))=0`. Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности `[({(x=1), (2x-a>=0):}), (sqrt(2x-a)=-x):}`. `x=1` принадлежит отрезку `[0;1]` и является корнем исходного уравнения, если `2*1-a>=0`, то есть при `a<=2`. Уравнение `sqrt(2x-a)=-x` равносильно системе `{(2x-a=x^2), (x<=0):}` и имеет при `a=0` единственный на отрезке `[0;1]` корень `x=0`. Но при `a=0` исходное уравнение имеет также корень `x=1`, то есть имеет два различных корня на отрезке `[0;1]`. Значит, `a!=0`.
Ответ: `(-infty; 0) uu (0;2]`.
18. Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `tg (pix) * ln (2x+a) = ln (2x+a)` имеет ровно один корень на отрезке `[0; 1]`.
Подробности:
Решение: Перепишем уравнение в виде `ln(2x+a)*(tg(pix)-1)=0`. Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности `[({(tg(pix)=1), (2x+a>0):}), (2x+a=1):}`. Уравнение `2x+a=1` имеет единственный корень `x_(1)=(1-a)/2`, который принадлежит отрезку `[0;1]` при `-1<=a<=1`. Уравнение `tg(pix)=1` имеет на отрезке `[0;1]` единственный корень `x_(2)=1/4`, если `2*1/4 + a >0`, то есть при `a > -1/2`. Заметим также, что `x_(1) = x_(2)` при `a=1/2`. Таким образом, исходное уравнение на отрезке `[0;1]` не имеет корней при `a<-1`, имеет ровно один корень при `-1<=a<=-1/2`, `a=1/2` и `a>1` и имеет два различных корня при `-1/2<a<1/2` и `1/2<a<=1`.
Ответ: `[-1; -1/2] uu {1/2} uu (1; +infty)`.
Хотелось бы уточнить : А кроме отрезка [0 1] может иметь корни?
netka
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29 Сообщений: 2842 Откуда: Казань
WWS писал(а):
Прошу прощения, не до конца ясна формулировка задания. Если понимать как: найти все значения `a` при которых уравнение имеет решение на `[0,1]` И оно единственное, то решение верное. Если: уравнение имеет единственное решение на `[0,1]` (но вне этого отрезка могут быть другие решения), то ответ другой. Например в этом случае `a=-5` дает корень `x=10`
у нас была такая формулировка задачи: "найти все значения а, при которых уравнение.... имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]." По-моему, всё чётко в условии...да, уравнение может иметь и другие корни (и имеет! особенно наглядно это видно при решении на плоскости хоа), но по условию нас интересует только количество корней на указанном отрезке.
yura777 писал(а):
Хотелось бы уточнить : А кроме отрезка [0 1] может иметь корни?
да, может.
yura777
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Прошу прощения, не до конца ясна формулировка задания. Если понимать как: найти все значения `a` при которых уравнение имеет решение на `[0,1]` И оно единственное, то решение верное. Если: уравнение имеет единственное решение на `[0,1]` (но вне этого отрезка могут быть другие решения), то ответ другой. Например в этом случае `a=-5` дает корень `x=10`
у нас была такая формулировка задачи: "найти все значения а, при которых уравнение.... имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]." По-моему, всё чётко в условии...да, уравнение может иметь и другие корни (и имеет! особенно наглядно это видно при решении на плоскости хоа), но по условию нас интересует только количество корней на указанном отрезке.
yura777 писал(а):
Хотелось бы уточнить : А кроме отрезка [0 1] может иметь корни?
да, может.
Вы уверены?
antonov_m_n
Заголовок сообщения: Re: Профильный 2017. Основная волна.
Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25 Сообщений: 2193 Откуда: Москва
yura777 писал(а):
math-study писал(а):
Подробности:
Прошу опытных участников проверить решения. Заранее благодарен!
18. Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2 + (x-1) * sqrt(2x-a) = x` имеет ровно один корень на отрезке `[0; 1]`.
Подробности:
Решение: Перепишем уравнение в виде `(x-1)(x+sqrt(2x-a))=0`. Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности `[({(x=1), (2x-a>=0):}), (sqrt(2x-a)=-x):}`. `x=1` принадлежит отрезку `[0;1]` и является корнем исходного уравнения, если `2*1-a>=0`, то есть при `a<=2`. Уравнение `sqrt(2x-a)=-x` равносильно системе `{(2x-a=x^2), (x<=0):}` и имеет при `a=0` единственный на отрезке `[0;1]` корень `x=0`. Но при `a=0` исходное уравнение имеет также корень `x=1`, то есть имеет два различных корня на отрезке `[0;1]`. Значит, `a!=0`.
Ответ: `(-infty; 0) uu (0;2]`.
18. Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `tg (pix) * ln (2x+a) = ln (2x+a)` имеет ровно один корень на отрезке `[0; 1]`.
Подробности:
Решение: Перепишем уравнение в виде `ln(2x+a)*(tg(pix)-1)=0`. Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности `[({(tg(pix)=1), (2x+a>0):}), (2x+a=1):}`. Уравнение `2x+a=1` имеет единственный корень `x_(1)=(1-a)/2`, который принадлежит отрезку `[0;1]` при `-1<=a<=1`. Уравнение `tg(pix)=1` имеет на отрезке `[0;1]` единственный корень `x_(2)=1/4`, если `2*1/4 + a >0`, то есть при `a > -1/2`. Заметим также, что `x_(1) = x_(2)` при `a=1/2`. Таким образом, исходное уравнение на отрезке `[0;1]` не имеет корней при `a<-1`, имеет ровно один корень при `-1<=a<=-1/2`, `a=1/2` и `a>1` и имеет два различных корня при `-1/2<a<1/2` и `1/2<a<=1`.
Ответ: `[-1; -1/2] uu {1/2} uu (1; +infty)`.
Хотелось бы уточнить : А кроме отрезка [0 1] может иметь корни?
Ваше решение не верно-грубая ошибка в самом начале(не учтена область определения тангенса),потеря одного решения: a=0 является решением(один корень-х=0,25)
_________________ Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
yura777
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Прошу прощения, не до конца ясна формулировка задания. Если понимать как: найти все значения `a` при которых уравнение имеет решение на `[0,1]` И оно единственное, то решение верное. Если: уравнение имеет единственное решение на `[0,1]` (но вне этого отрезка могут быть другие решения), то ответ другой. Например в этом случае `a=-5` дает корень `x=10`
у нас была такая формулировка задачи: "найти все значения а, при которых уравнение.... имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]." По-моему, всё чётко в условии...да, уравнение может иметь и другие корни (и имеет! особенно наглядно это видно при решении на плоскости хоа), но по условию нас интересует только количество корней на указанном отрезке.
yura777 писал(а):
Хотелось бы уточнить : А кроме отрезка [0 1] может иметь корни?
да, может.
Тогда ответ совсем другой ,а не тот ,что приведен и признан верным..
netka
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Зарегистрирован: 20 мар 2011, 22:29 Сообщений: 2842 Откуда: Казань
yura777 писал(а):
Тогда ответ совсем другой ,а не тот ,что приведен и признан верным..
непонятно, о какой именно задаче Вы говорите. обе задачи из поста решены в теме. Решение первой задачи у math-study верное, во второй задаче допущена ошибка (не учтено ОДЗ по тангенсу). Этот вопрос уже обсуждался на странице 14 (ЗДЕСЬ). Ответ отличается от верного тем, что не включено значение `0`. Графическое решение второй задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ - задача 18, тип 1.2.
yura777
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Тогда ответ совсем другой ,а не тот ,что приведен и признан верным..
непонятно, о какой именно задаче Вы говорите. обе задачи из поста решены в теме. Решение первой задачи у math-study верное, во второй задаче допущена ошибка (не учтено ОДЗ по тангенсу). Этот вопрос уже обсуждался на странице 14 (ЗДЕСЬ). Ответ отличается от верного тем, что не включено значение `0`. Графическое решение второй задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ - задача 18, тип 1.2.
да..да .. всё верно,чего-то заклинило Сам же здесь решал именно в такой постановке : пусть корни будут ,но вне отрезка viewtopic.php?p=197474#p197474
netka
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ-2017: основная волна (2 июня)
Помогите разобраться с заданием типа 18.1, который указан в образцеварианта .18.1 Найдите все значения , при каждом из которых уравнение корень(х-а)sin=-корень(х-а)cos имеет ровно один корень на отрезке [0;пи]
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения