Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 21:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Системы и совокупности явных неравенств

"Явные неравенства (заполнить цветом)": этот пункт доступен, если в инвентаре имеются примеры явных функций. Для определения областей к заполнению цветом используются кривые вида y=f (x). Каждая такая область будет получена, если Вы выберите одну из трех предложенных опций: затенить "выше" или "ниже" отобранной кривой, или "между" двумя отобранными кривыми. Отбирая "х интервал", Вы можете ввести границы, между которыми осуществляется затенение. Затенение осуществляется маленькими точками, чей цвет может быть изменен. Как только область будет описана, щелкните "затенить", чтобы увидеть результат и добавить его к списку областей. Также возможно заполнение области полным цветом; см. меню "Вид".

Пример 1. Найдем графическое решение совокупности неравенств `[(y>=2x+1),(y>=-x-1):}`. Построим графики функций `y=2x+1` и `y=-x-1`. Через команды Уравнение - Явные неравенства (заполнить цветом) в диалоговом окне в списке функций выбираем одну функцию, пункт выше, цвет. Нажимаем затенить. Затем в списке выбираем вторую функцию, пункт выше, цвет. Нажимаем затенить. Вся закрашенная область и будет представлять графическое решение данной совокупности.
Замечание. Можно было бы выбрать одинаковый цвет для полученных областей.
Подробности:
Вложение:
область1.gif
область1.gif [ 12.14 KIB | Просмотров: 6720 ]


Пример 2. Найдем графическое решение системы неравенств `{(y>=2x+1),(y>=-x-1):}`.
К предыдущему построению добавим галочку пересечение. Видим общую часть построенных областей.
Подробности:
Вложение:
область2.gif
область2.gif [ 18.28 KIB | Просмотров: 6720 ]

Подробности:
Вложение:
область3.gif
область3.gif [ 7.92 KIB | Просмотров: 6720 ]

Замечание. Меняя знаки неравенств, можно рассмотреть оставшиеся три совокупности двух неравенств и три системы двух неравенств. А сколько можно составить систем (совокупностей) явных неравенств, используя три функции?
Замечание. Надписями займемся позже.

Упражнения.
1. Найдите графическое решение системы неравенств `{(y<=2x+1),(y>=-x-1),(y<=1):}`
2. Найдите графическое решение системы неравенств `{(y>=x^2),(y<=-(x-1)^2+2):}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 21:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 3. Рассмотрим область, ограниченную графиками функций `y=sin(x)` и `y=0` на промежутке от 0 до `pi` . Для этого построим графики функций `y=sin(x)` и `y=0`. Затем через диалоговое окно явные неравенства (заполнить цветом) устанавливаем функции в разных полях, выбираем пункт между, пункт х интервал, нажимаем затенить.

Подробности:
Вложение:
область4.gif
область4.gif [ 8.84 KIB | Просмотров: 6713 ]

Подробности:
Вложение:
область5.gif
область5.gif [ 5.55 KIB | Просмотров: 6713 ]


Замечание. Вместо пункта между можно было выбрать пункты ниже, выше и пересечение.

Упражнения.
1. Изобразить область, ограниченную графиками функций `y=sin(x)` и `y=0` на промежутке от `-pi/2` до `pi/2`.
2. Изобразить область, ограниченную графиками функций `y=sqrt(x)` и `y=-sqrt(x)` на промежутке от 2 до 5.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 22:00 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Системы и совокупности неявных неравенств

"Неявные неравенства (заполнить цветом)": этот пункт доступен, если в инвентаре имеются примеры неявных функций. Любой такой пример может быть преобразован в неравенство, выбирая функцию в первом поле списка и щелкая по одной из двух кнопок "изменить". Если щелкнуть "заполнить", то будет показана требуемая область с выбранным в настоящий момент цветом. Чтобы заштриховывать область, которая является общей к двум или больше существующим областям, выберите эти области в списке областей и щелкните "пересечение".

Пример 1. Найдем графическое решение системы неравенств `{( x^2+y^2>=1),( (x-2)^2+y^2>=4):}`. Построим графики уравнений `x^2+y^2=1` и `(x-2)^2+y^2=4`, используя команды Уравнение - неявное. Через команды Уравнение - Неявные неравенства (заполнить цветом) в диалоговом окне в списке уравнений первого поля щелкаем по первой записи, затем по кнопке заменить = на >. Щелкаем по второй записи, затем по кнопке заменить = на >. Теперь во втором поле щелкаем по первой записи-неравенству, затем по второй записи, тем самым активизируя неравенства. Кнопка пересечение становится активной, щелкаем по ней. Далее во втором поле выбираем первое неравенство и щелкаем по кнопке скрыть, выбираем второе неравенство и щелкаем по кнопке скрыть. В итоге на рисунке остается общая часть построенных областей.

Подробности:
Вложение:
область6.gif
область6.gif [ 28.22 KIB | Просмотров: 6712 ]

Подробности:
Вложение:
область7.gif
область7.gif [ 9.1 KIB | Просмотров: 6712 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 22:06 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 2. На рисунке представлено графическое решение неравенства `( x^2+y^2-1)( (x-2)^2+y^2-4)<=0`. Достаточно построить график уравнения через команды Уравнениенеявное, затем заменить на неравенство через команды УравнениеНеявные неравенства (заполнить цветом).
Подробности:
Вложение:
область8.gif
область8.gif [ 7.99 KIB | Просмотров: 6711 ]


Упражнение.
На рисунке представлено графическое решение системы неравенств, используя уравнения `x^2+y^2=1`, `(x-1)^2+y^2=1` и `(x-1)^2+(y-1)^2=1`. Замените знаки равенства на соответствующие знаки неравенства и постройте представленную область (измените цвет линий и области).

Подробности:
Вложение:
область9.gif
область9.gif [ 6.51 KIB | Просмотров: 6711 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 22:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Строгие неравенства

Для нестрогих неравенств линии-границы областей необходимо представить в другом виде, в отличие от сплошных линий. В программе для кривых нет стиля пунктирный или штриховой. Для линий при отображении строгих неравенств можно выбрать толщину линии 1 и светлый цвет. После построения линий и областей с использованием прямой можно дополнительно построить прямую через команды УравнениеПрямая, выбирая стиль пунктирный или штриховой.

Подробности:
Вложение:
область10.gif
область10.gif [ 5.55 KIB | Просмотров: 6710 ]

Подробности:
Вложение:
область11.gif
область11.gif [ 6.05 KIB | Просмотров: 6710 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 22 янв 2012, 22:17 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Задание с параметром

Создадим модель к задаче.
ЕГЭ, 2011. Найдите все значения а, при каждом из которых система
`{(x^2+(4a+5)x+3a^2+5a<0),(x^2+a^2=25):}` имеет решения.
Для программы буква а играет особую роль, параметра, поэтому построение графиков будем проводить с переменными х и у. Вместо х будет у, вместо а будет х.
Система будет выглядеть так `{((y+x)(y+3x+5)<0),(y^2+x^2=25):}`
Далее идут стандартные построения, которые были описаны выше. Для построения точек необходимо знать координаты. Подведите курсор к точке пересечения линий, нажмите на левую клавишу мыши, появятся координаты точки (это возможно, если в меню Кнопки включена команда ХУ координаты).

Подробности:
Вложение:
область12.gif
область12.gif [ 10.15 KIB | Просмотров: 7991 ]


Упражнение. Создайте модель к следующей задаче.
ЕГЭ, 2011. Найдите все значения а, при каждом из которых система
`{(x^2+(8a+4)x+7a^2+4a<0),(x^2+a^2=16):}` имеет решения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 23 янв 2012, 08:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Галина, молодец. В течении дня постараюсь ответить на все Ваши вопросы и дать маленькие советы, если таковые появятся.
По последнему вопросу о графическом решении неравенств. Переносим все в левую часть неравенства, строим график функции, стоящей в левой части неравенства и смотрим, на каких участках функция положительна или отрицательна.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 23 янв 2012, 08:56 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Как записывать ответ при решении неравенств с двумя переменными?

Для примера с тремя прямыми.
Прямые `y=-x-1` и `y=2x+1` пересекаются в точке `(-2/3,-1/3)`. Поэтому область можно разбить на две области прямой `x=-2/3`.
Ответ можно записать следующим образом: если `-2<=x<=-2/3`, то `-x-1<=y<=1`; если `-2/3<x<=0`, то `2x+1<=y<=1`.

Для примера с двумя параболами. Найдем абсциссы точек пересечения парабол и записываем ответ: если `(1-sqrt(3))/2<=x<=(1+sqrt(3))/2`, то `x^2<=y<=-(x-1)^2+2`


Последний раз редактировалось Anatoly 23 янв 2012, 10:57, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 23 янв 2012, 10:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Галина, точки можно посадить на окружность, зная ее координаты. Как узнать координаты? Первый способ: найти аналитически, попарно решая системы, состоящей из уравнений прямой и окружности. Например, из системы `{(y=-x),(x^2+y^2=16):}` находим две точки `(sqrt(8),-sqrt(8))` и `(-sqrt(8),sqrt(8))`. Через команды Уравнение - Точка печатаем координаты как есть формулами (sqrt(8),-sqrt(8)) и (-sqrt(8),sqrt(8)).
Второй способ (приближенный): подводим курсор в место пересечения прямой и окружности и нажимаем на левую клавишу мыши, сразу видим координаты. Также через команды Уравнение - Точка печатаем координаты до сотых долей. Если точка не точно села, через Инвентарь - редактор возвращаемся и меняем скорее сотые доли в координатах.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенства с двумя переменными и области их решений
 Сообщение Добавлено: 23 янв 2012, 11:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Галина, в примере с тремя окружностями в системе необходимо поменять знак неравенства на противоположный для первого и третьего неравенств. Здесь необходимо посмотреть, выделенная область является внешней или внутренней по отношению к той или иной окружности.
В примере ЕГЭ 2011 в графике уравнения с прямыми можно цвет сделать светлым (или белым), толщину 1. И построить (добавить) прямые `y=-x` и `y=-7x-4` через команды Уравнение - Прямая, выбрав стиль пунктирный.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: