Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 28 янв 2012, 12:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Знакомство с замечательными кривыми

Тема «Замечательные кривые» одна из красивых тем в математике и очень часто ее используют для выступлений школьников на конференциях. С применением компьютерных динамических программ эти кривые стали вдвойне замечательными. Полярные координаты позволяют записать уравнения некоторых кривых в более простом виде в сравнении с декартовыми координатами.
Например, уравнение `r=2sin(5t)` задает пятилепестковый цветок. Как изменится рисунок, если записать уравнение `r=2cos(5t)`?
Для первого знакомства постройте некоторые кривые.
1. Трехлепестковый цветок `r=cos(3t)`.
2. Четырехлепестковый цветок `r=cos(2t)`.
3. Спираль Архимеда `r=0.5t`.
4. Лемниската Бернулли `r=sqrt(2cos(2t))`
5. Кардиоида `r=1+cos(t)` или `r=1+sin(t)`
6. Жезл `r=2/(sqrt(t))`
7. Лист Декарта `r=(1.5sin(2t))/((sin(t))^3+(cos(t))^3)`
8. Какую линию задают уравнения `r=1`, `r=2`?
9. Какую линию задает уравнение `r=2/(cos(t))`?
Замечание. В некоторых случаях при изучении кривых включают полярную систему координат.
Подробности:
Вложение:
pol.coord.1.gif
pol.coord.1.gif [ 6.92 KIB | Просмотров: 6466 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 28 янв 2012, 12:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Замечательные кривые в движении

Исследуйте поведение кривых в зависимости от параметра.
1. Какие линии задает уравнение `r=1/(1-acos(t))`и при каких значениях а?
2. Исследуйте поведение спирали Архимеда `r=at` при положительных и отрицательных значениях а.
3. Исследуйте график кривой (полярной розы, розы Гвидо Гранди) `r=2cos(at)` в зависимости от параметра а. При каких значениях а получается роза? При каком значении а получается 8-лепестковая роза?


Последний раз редактировалось Anatoly 28 янв 2012, 19:04, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 28 янв 2012, 19:06 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Галина Владимировна, Вы способная ученица.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 28 янв 2012, 21:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Подвижные дуги окружности

Построим единичную окружность либо через команды Уравнениенеявное либо через команды Уравнениев полярных координатах. Затем строим часть единичной окружности, используя параметр. Через команды Уравнениев полярных координатах печатаем уравнение `r=1`, указываем подвижные границы для угла от `(pi/12)a` до `pi-(pi/12)a`. Далее через команды АнимацияПараметры в диалоговом окне устанавливаем границы для параметра от -6 до 6. Набираем 6 и щелкаем пр.гр., набираем -6 и щелкаем лев.гр. Передвигаем бегунок (лучше щелкать по маленьким стрелочкам с мелким шагом) и наблюдаем как дуга увеличивается, начиная с точки до полной окружности. Эти построения используем для модели решения неравенства `sin(x)>=a` или `sin(x)>a` . Как построить дуги для модели решения неравенства `sin(x)<=a` или `sin(x)<a`?

Замечание. Границы для параметра лучше установить в первую очередь, затем устанавливать границы для угла (возможно уже стоят другие границы, которые могут мешать для установления границ углов).

Упражнения.
Постройте подвижные дуги единичной окружности с границами для угла:
1. от `2pi-(pi/12)a` до `2pi+(pi/12)a`. Устанавливаем границы для значений параметра от 0 до 12 (см. рис 1). Понаблюдайте за изменениями длины дуги. Эти построения используем для модели решения неравенства `cos(x)>=a` или `cos(x)>a` . Как построить дуги для модели решения неравенства `cos(x)<=a` или `cos(x)<a`?

2. от `2pi-(pi/12)a` до `(5pi)/2` для одной дуги и от `pi-(pi/12)a` до `(3pi)/2` для второй дуги. Дуги строим одного цвета и одной толщины. Устанавливаем границы для значений параметра от -6 до 6 (см. рис 2). Понаблюдайте за изменениями длины дуги. Эти построения используем для модели решения неравенства `tg(x)>=a` или `tg(x)>a` . Как построить дуги для модели решения неравенства `tg(x)<=a` или `tg(x)<a`?

3. от `0` до `(pi/12)a` для одной дуги и от `pi` до `pi+(pi/12)a` для второй дуги. Устанавливаем границы для значений параметра от 0 до 12 (см. рис 3). Понаблюдайте за изменениями длины дуги. Эти построения используем для модели решения неравенства `ctg(x)>=a` или `ctg(x)>a` . Как построить дуги для модели решения неравенства `ctg(x)<=a` или `ctg(x)<a`?
Подробности:
Вложение:
дуги1.gif
дуги1.gif [ 4.26 KIB | Просмотров: 6440 ]

Подробности:
Вложение:
дуги2.gif
дуги2.gif [ 4.25 KIB | Просмотров: 6440 ]

Подробности:
Вложение:
дуги3.gif
дуги3.gif [ 4.23 KIB | Просмотров: 6440 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 29 янв 2012, 17:37 
Не в сети
Главный модератор
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 23 окт 2010, 19:59
Сообщений: 7130
Откуда: Королёв
Anatoly писал(а):
Галина Владимировна, Вы способная ученица.

Галина не только способная ученица,она - прекрасный учитель! @};-
Покажите мастер-класс на школьной конференции!
Мы за вас уже болеем.Пусть всё пройдёт на ура!

Анатолий Георгиевич,без Вас бы ничего этого не было. @};-


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 29 янв 2012, 17:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Спасибо, Наталья Тихоновна. Приходится выискивать свободную минуту от основной работы, неосновной и командировок, чтобы добавить что-нибудь новенькое.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 10 фев 2012, 20:17 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 июн 2010, 13:23
Сообщений: 1585
Продолжаю пропущенные темы.
Подробности:
Вложение:
Замечательные кривые 1.JPG
Замечательные кривые 1.JPG [ 76.57 KIB | Просмотров: 6353 ]
Подробности:
Вложение:
Замечательные кривые 2.JPG
Замечательные кривые 2.JPG [ 67.11 KIB | Просмотров: 6351 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 11 фев 2012, 10:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Отлично, Светлана Михайловна. Красивый шрифт выбрали для написания. Как он называется? Сегодня добавлю что-нибудь еще из тем.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 11 фев 2012, 10:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 19 июн 2010, 13:23
Сообщений: 1585
Cпасибо, Анатолий Георгиевич, за все, что вы делаете для нас!Шрифт называется Monotype Corsiva,я им пользуюсь часто, мне он нравится. :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнения в полярных координатах
 Сообщение Добавлено: 20 дек 2012, 10:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 дек 2012, 19:39
Сообщений: 3
Я уже создал подобную тему в разделе GeoGebra. Повторю вопрос и здесь.
В зачине темы было
Anatoly писал(а):
Замечание. В некоторых случаях при изучении кривых включают полярную систему координат.

Я бы сказал, что для всяческих кривых система полярных координат является родной и работать следует исключительно в ней.
Декартова же система хороша для различных угольников (фигур, построенных из пересекающихся прямых).
Противостояние этих двух систем весьма любопытно исследовано здесь.


Anatoly писал(а):
Построим единичную окружность либо через команды Уравнениенеявное либо через команды Уравнениев полярных координатах. Затем строим часть единичной окружности, используя параметр. Через команды Уравнениев полярных координатах печатаем уравнение `r=1`, указываем подвижные границы для угла от `(pi/12)a` до `pi-(pi/12)a`.

Судя по этой записи, сабжевый Winplot 2D понимает запись в полярных понятиях (радиусы/радианы). Верно ли, что при построении кривых, я смогу использовать формулы вида "ρ=kϕ" (как здесь) и мне не придётся мучиться с тригонометрическими костылями?


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: