Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу 1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
График первообразной функции

Если Вы щелкаете "неопределенный", то программа рисует график первообразной функции, которая соответствует "нижнему пределу" и добавляет к инвентарю (без формулы, но с указанием наличия графика первообразной функции). Можно связать нижний предел с параметром анимации. Например, запись "-2.72@k" в редактируемом поле "нижнего предела" говорит, чтобы программа назначила число -2.72 на параметр K. Когда значение K изменяется (в меню "Анимация"), график первообразной функции также изменяется соответственно.

Пример. Через команды Уравнениеявное построим кривую `y=-sin(x)`. Через команды Одна функцияИнтегрированиеинтегрировать f (x)dx в открывшемся диалоговом окне оставим по умолчанию нижний предел 0. Нажмем на кнопку неопределенный, получим график первообразной функции `y=cos(x)-1`. Изменим значение нижнего предела на 2 . Нажмем на кнопку неопределенный, получим график первообразной функции `y=cos(x)+1.4`.
Теперь для нижнего предела добавим запись 2@k. Нажмем на кнопку неопределенный, появится диалоговое окно текущее значение k, в котором значение k равно 2. Перемещайте бегунок и понаблюдайте за перемещением графика первообразной функции.

Замечание. Отметим, что постоянная интегрирования не совпадает со значением нижнего предела, а значит и со значением параметра k. Но с помощью окна анимации можно добиться необходимой постоянной интегрирования.

Упражнение. Постройте графики одной из первообразных:
а) для функции `y=2x-1`.
б) для функции `y=1/x` с постоянной интегрирования (-2). Указание. Для получения необходимой постоянной интегрирования используйте анимацию.

Подробности:
Вложение:
инт1.gif
инт1.gif [ 22.25 KIB | Просмотров: 4528 ]

Подробности:
Вложение:
инт2.gif
инт2.gif [ 10.52 KIB | Просмотров: 4528 ]

Подробности:
Вложение:
инт3.gif
инт3.gif [ 13.7 KIB | Просмотров: 4528 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Вычисление определенного интеграла

Команда "интегрировать f (x)dx" может использоваться для численных расчетов и также для иллюстрации различных простых методов вычисления интеграла. Щелкните "определенный", чтобы вычислить приближенно значение указанного интеграла; при этом выберите метод и укажите число делений на подинтервалы. Если пункт "показать" также отмечен, то программа рисует систему прямоугольников, которая соответствует первому отмеченному методу в списке (или трапецоидов, или параболических дуг). Конечно пункт "показать" полезен только для малого числа подинтервалов.

"Формула парабол" - метод требует четного числа интервалов, таким образом, программа соответствует формуле квадратуры, вычисляя дополнительную точку для каждого из требуемых интервалов. Предупреждение: оценка сходящихся несобственных интегралов - чувствительный процесс. В частности программа могла бы произвести ненадежные результаты, если бы вычисляли интеграл для функции неограниченной в особой точке (или около).

Пример 1. Вычислим определенный интеграл для функции `y=cos(x)` от –pi/2 до pi/2. Через команды Уравнениеявное построим кривую y=cos(x). Через команды Одна функцияИнтегрированиеинтегрировать f (x)dx в открывшемся диалоговом окне поставим пределы интегрирования от –pi/2 до pi/2. Выберем, например, первый метод вычисления интеграла лев. тчк., число делений на подинтервалы оставим по умолчанию 1000. Нажмем на кнопку определенный, получим результат 2. Меняем пределы интегрирования от –pi до pi. Нажмем на кнопку определенный, получим результат 0.

Замечание. Проверьте полученные ответы, решая задачу аналитическим способом.

Подробности:
Вложение:
инт4.gif
инт4.gif [ 22.16 KIB | Просмотров: 4527 ]

Подробности:
Вложение:
инт5.gif
инт5.gif [ 22.05 KIB | Просмотров: 4527 ]

Подробности:
Вложение:
инт6.gif
инт6.gif [ 6.32 KIB | Просмотров: 4527 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 2. Проиллюстрируем вычисление интеграла как сумму площадей вписанных прямоугольников. Через команды Уравнениеявное построим кривую y=log(2,x). Через команды Одна функцияИнтегрированиеинтегрировать f (x)dx в открывшемся диалоговом окне поставим пределы интегрирования от 2 до 8. Выберем первый метод вычисления интеграла лев. тчк., число делений на подинтервалы поставим 10. Нажмем на кнопку показать, появятся вписанные прямоугольники. Не вычисляя интеграла, изменим метод на ср. тчк., число делений поставим 20. Самостоятельно проверьте остальные методы вписывания прямоугольников, трапеций, параболических фигур.

Замечание. Параболы плотно прилегают к графику и их трудно рассмотреть. Оставьте число делений 1, чтобы разглядеть хотя бы в этом случае параболу.
Нажимайте на кнопку определенный, получите результат для каждого метода. Нажимайте на кнопки + и -, понаблюдайте за результатом вычисления интеграла.

Упражнение. Вычислите интегралы:
а) для функции `y=1/x` от 1 до е.
б) для функции `y=x*cos(x)` от pi до 0.

Подробности:
Вложение:
инт7.gif
инт7.gif [ 9.65 KIB | Просмотров: 4527 ]

Подробности:
Вложение:
инт8.gif
инт8.gif [ 12.15 KIB | Просмотров: 4527 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Площадь фигуры

Пример 1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой `y=x^2` и прямыми `x=1`, `x=4`, `y=0`. Через команды Уравнениеявное построим кривую `y=x^2`. Через команды Одна функцияИнтегрированиеинтегрировать f (x)dx в открывшемся диалоговом окне поставим пределы интегрирования от 1 до 4. Выберем сразу все методы вычисления интеграла, число делений на подинтервалы оставим по умолчанию 1000. Нажмем на кнопку определенный, получим результат для каждого метода.

Замечание. Проверьте полученный ответ, решая задачу аналитическим способом.

Подробности:
Вложение:
инт9.gif
инт9.gif [ 22.15 KIB | Просмотров: 4527 ]

Подробности:
Вложение:
инт10.gif
инт10.gif [ 7.95 KIB | Просмотров: 4527 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций `y=x^2` и `y=sqrt(x)`. Через команды Уравнениеявное построим две кривые y=x^2 и y=sqrt(x). Через команды Две функцииинтегрировать (f (x)-g(x))dx в открывшемся диалоговом окне поставим пределы интегрирования от 0 до 1. В верхнем поле выберем функцию y=sqrt(x), во втором поле функцию y=x^2. Метод вычисления интеграла отметим лев. тчк., число делений на подинтервалы оставим по умолчанию 1000. Нажмем на кнопку определенный, получим результат 0.333. Выбираем цвет и опцию показать, получим изображение фигуры.

Замечание. Проверьте полученный ответ, решая задачу аналитическим способом.

Упражнение. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
а) `y=x^2-6x+8` и `y=0`.
б) `xy=6` и `y=7-x`.

Подробности:
Вложение:
инт11.gif
инт11.gif [ 21.77 KIB | Просмотров: 4527 ]

Подробности:
Вложение:
инт12.gif
инт12.gif [ 6.78 KIB | Просмотров: 4527 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:43 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Площадь сектора

С помощью этой команды вычисляют площадь сектора (с центром в начале координат), который определен выбранной дугой. Показанный результат всегда положительный; но площадь, полученная по часовой стрелке, взаимно уничтожается с площадью, полученной против часовой стрелки.

Пример 1. Найдем площадь сектора, ограниченного графиком функции `y=sqrt(2-x^2)`, от точки (-1;1) до точки (1;1) и полярными радиусами. Через команды Уравнениеявное построим кривую y=sqrt(2-x^2) от -1 до 1. Через команды Одна функцияИнтегрированиеплощадь сектора в открывшемся диалоговом окне определим дугу от -1 до 1. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку площадь, получим результат 1.571.

Подробности:
Вложение:
инт13.gif
инт13.gif [ 13.11 KIB | Просмотров: 4526 ]

Подробности:
Вложение:
инт14.gif
инт14.gif [ 6.55 KIB | Просмотров: 4526 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 2. Через команды Уравнениев полярных координатах построим кривую `r=3cos(2t)` при изменении угла от 0 до 2pi. Через команды Одна функцияИнтегрированиеплощадь сектора в открывшемся диалоговом окне определим дугу от 0 до pi/4. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку площадь, получим результат 1.767. Изменим интервал для дуги от 0 до pi/2. Нажмем на кнопку площадь, получим результат 3.534.

Замечание. Проверьте полученный ответ, решая задачу аналитическим способом.
Замечание. Для вычисления площади сектора с интервалом для дуги от 0 до 2pi достаточно последний результат 3.534 умножить на 4.
Замечание. В программе имеется закрашивание областей, связанных с графиками функций явного или неявного вида. Для графика функции, которая задана параметрическим или полярным способом, область приходится закрашивать, выходя на явное или неявное задание функции.

Подробности:
Вложение:
инт15.gif
инт15.gif [ 18.79 KIB | Просмотров: 4526 ]

Подробности:
Вложение:
инт16.gif
инт16.gif [ 7.79 KIB | Просмотров: 4526 ]

Подробности:
Вложение:
инт17.gif
инт17.gif [ 13.12 KIB | Просмотров: 4526 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 3. Через команды Уравнениепараметрическое построим эллипс `x=cos(t)`, `y=2sin(t)` при изменении параметра от 0 до 2pi. Через команды Одна функцияИнтегрированиеплощадь сектора в открывшемся диалоговом окне определим дугу от 0 до pi. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку площадь, получим результат 3.142.

Замечание. Проверьте полученный ответ, решая задачу аналитическим способом.
Замечание. Для вычисления площади сектора с интервалом для дуги от 0 до 2pi достаточно последний результат 3.142 умножить на 2.

Упражнение. Вычислите площадь, ограниченную:
а) кардиоидой `r=2(1+cos(t))`
б) астроидой `x=(cos(t))^3` и `y=(sin(t))^3`

Подробности:
Вложение:
инт18.gif
инт18.gif [ 25.44 KIB | Просмотров: 4525 ]

Подробности:
Вложение:
инт19.gif
инт19.gif [ 13.11 KIB | Просмотров: 4525 ]

Подробности:
Вложение:
инт20.gif
инт20.gif [ 7.06 KIB | Просмотров: 4525 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 22:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Длина дуги

Выберите кривую из ниспадающего списка. В редактируемые поля "от" и "до" печатают наибольшее и наименьшее значения для x (или t, если кривая является параметрической). Щелкните "длина", чтобы увидеть ответ. Степень приближения зависит от числа "делений" на подинтервалы, которые Вы используете. Точки недифференцируемости также затрагивают точность вычислений (например, если подынтегральное выражение содержит функцию sqrt (x) - квадратный корень и нижний предел интегрирования в точке x=0).

Пример 1. Найдем длину дуги, заданной графиком функции `y=sqrt(2-x^2)`, от точки (-1;1) до точки (1;1). Через команды Уравнениеявное построим кривую y=sqrt(2-x^2) от -1 до 1. Через команды Одна функцияИнтегрированиедлина дуги в открывшемся диалоговом окне определим дугу от -1 до 1. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку длина, получим результат 2.221.

Подробности:
Вложение:
инт21.gif
инт21.gif [ 12.65 KIB | Просмотров: 4525 ]

Подробности:
Вложение:
инт22.gif
инт22.gif [ 3.97 KIB | Просмотров: 4525 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:01 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 2. Через команды Уравнениепараметрическое построим одну арку циклоиды, используя формулы `x=t-sin(t)` и `y=1-cos(t)` при изменении параметра от 0 до 2pi. Через команды Одна функцияИнтегрированиедлина дуги в открывшемся диалоговом окне определим дугу от 0 до 2pi. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку длина, получим результат 8.

Замечание. Проверьте полученный ответ, решая задачу аналитическим способом.

Подробности:
Вложение:
инт23.gif
инт23.gif [ 25.36 KIB | Просмотров: 4525 ]

Подробности:
Вложение:
инт24.gif
инт24.gif [ 4.62 KIB | Просмотров: 4525 ]

Подробности:
Вложение:
инт25.gif
инт25.gif [ 18.75 KIB | Просмотров: 4525 ]


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу 1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: