Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net



 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Пример 3. Через команды Уравнениев полярных координатах построим кривую `r=(cos(t/3))^3` при изменении параметра от 0 до 3pi. Через команды Одна функцияИнтегрированиедлина дуги в открывшемся диалоговом окне определим дугу от 0 до 3pi/2. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку длина, получим результат 2.356.

Замечание. Для вычисления длины дуги с интервалом для дуги от 0 до 3pi достаточно последний результат 2.356 умножить на 2.

Упражнение. Вычислите длину кривой:
а) `y^3=x^2` от точки (0;0) до точки (1;1)
б) `r=(sin(t/3))^3`
в) `x=e^t*sin(t)` и `y=e^t*cos(t)` при изменении параметра от 0 до pi/2

Подробности:
Вложение:
инт26.gif
инт26.gif [ 12.65 KIB | Просмотров: 2667 ]

Подробности:
Вложение:
инт27.gif
инт27.gif [ 6.16 KIB | Просмотров: 2667 ]

Подробности:
Вложение:
инт28.gif
инт28.gif [ 12.65 KIB | Просмотров: 2667 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Объем тела вращения

"Объем тела вращения": выберите ось вращения ax + by = c, печатая коэффициенты a, b и c, или щелкните "х-ось" или "у-ось". Выберите кривую из ниспадающего списка, которая будет вращаться. Выберите начало и конец на кривой. Если функция имеет вид y=f (x), то выберите два значения для x в опциях "от" и "до"; в противном случае (параметрические и полярные кривые) выбирают два значения для t. Каждая точка на кривой определяет отрезок, который является перпендикулярным оси вращения; этот отрезок образует круг, когда он вращается вокруг оси. Щелкните "объем", чтобы увидеть объем полученного тела. Точность вычислений зависит от числа "делений" на подинтервалы.

Тело вращения можно заменить системой вписанных цилиндров:
1. Используйте диалоговое окно "Поверхность вращения", чтобы нарисовать поверхность.
2. Используйте 3D диалоговое окно "Инвентарь", чтобы редактировать поверхность.
3. Напечатайте, например, "8@1" в редактируемое поле "t деления" и нажмите OK. Вы увидите 8 полых цилиндров, которые связаны с вращением левой конечной точки вокруг оси, 8 подинтервалов, сумму Римана. Используйте надписи "8@2" и "8@3" для сумм со средней точкой и правой конечной точкой соответственно. Чтобы получить закрытые цилиндры, используйте надписи "8@11", "8@12", и "8@13".

Каждый новый пример может быть добавлен в то же самое окно трехмерного тела, таким образом, Вы можете видеть одновременно несколько поверхностей.

Пример 1. Вычислим объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ох, ограниченной линиями `y^2=2x`, `x=2`. Через команды Уравнениеявное построим кривую `y=sqrt(2x)`. Через команды Одна функцияИнтегрированиеобъем тела вращения в открывшемся диалоговом окне определим границы промежутка по переменной х от 0 до 2. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку объем, получим результат 12.566.

Подробности:
Вложение:
инт29.gif
инт29.gif [ 5.31 KIB | Просмотров: 2666 ]

Подробности:
Вложение:
инт30.gif
инт30.gif [ 16.33 KIB | Просмотров: 2666 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:15 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
С помощью команд Одна функцияПоверхность вращения открываем диалоговое окно, в котором ставим границы для дуги по переменной х от 0 до 2, угол вращения по умолчанию от 0 до 2pi. Нажимаем рисовать поверхность. Появляется 3D окно с изображением тела вращения, а также к нему собственное инвентарное окно. Как и в геометрической программе Wingeom 3D тело можно вращать, наклонять с помощью стрелок курсора на клавиатуре; приближать или отдалять с помощью клавиш Page Up и Page Dn.

Подробности:
Вложение:
инт31.gif
инт31.gif [ 16.18 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт32.gif
инт32.gif [ 17.49 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт33.gif
инт33.gif [ 20.02 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Используем 3D диалоговое окно "Инвентарь", чтобы редактировать поверхность.
Напечатаем, например, "4@1" в редактируемое поле "t деления" и нажмем OK. Видим 3 полых цилиндра, которые связаны с вращением левой конечной точки вокруг оси. Чтобы получить закрытые цилиндры, используем надпись "4@11".

Упражнения. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
а) `x^2/9+y^2/4=1` вокруг оси Оу
б) `x=(cos(t))^3`, `y=(sin(t))^3` вокруг оси Ох

Подробности:
Вложение:
инт34.gif
инт34.gif [ 23.19 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт35.gif
инт35.gif [ 16.89 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт36.gif
инт36.gif [ 18.29 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:23 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Площадь поверхности вращения

Пример. Вычислим площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох астроиды `x=(cos(t))^3`, `y=(sin(t))^3`. Через команды Уравнениепараметрическое построим кривую x=(cos(t))^3, y=(sin(t))^3. Через команды Одна функцияИнтегрированиеплощадь поверхности вращения в открывшемся диалоговом окне определим значения параметра от 0 до pi/2. Оставим по умолчанию 1000 делений выбранного интервала. Нажмем на кнопку площадь, получим результат 3.770.

Замечание. Для вычисления площади поверхности с интервалом для параметра от 0 до 2pi достаточно последний результат 3.77 умножить на 2.

Подробности:
Вложение:
инт37.gif
инт37.gif [ 6.2 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт38.gif
инт38.gif [ 16.83 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
С помощью команд Одна функцияПоверхность вращения открываем диалоговое окно, в котором ставим границы для параметра от 0 до pi, угол вращения по умолчанию от 0 до 2pi. Нажимаем рисовать поверхность. Появляется 3D окно с изображением тела вращения, а также к нему собственное инвентарное окно.

Упражнения.
1. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох:
а) окружности `x=2cos(t)`, `y=2sin(t)`
б) дуги параболы `y^2=2x` между точками пересечения с прямой `2x=3`.
2. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оy эллипса `3x^2+4y^2=12`.

Подробности:
Вложение:
инт39.gif
инт39.gif [ 15.97 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт40.gif
инт40.gif [ 20.01 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Поверхность вращения

"Поверхность вращения": этот диалог такой же, как диалоги "объем тел вращения" и "площадь поверхности вращения", за исключением того, что допускаются неявные кривые и имеется результат - окно графика, которое показывает трехмерный объект. Для кривых, не являющиеся неявными, можно связать четыре числа (начало и конец: для дуги - две, для угла - две) с параметрами анимации. Например, запись "6.2832@K" в редактируемом поле "угол" говорит программе о назначении числа 6.2832 на параметр K, который будет вставлен (незримо) в уравнение поверхности. Когда значение K меняется, тогда и поверхность в трехмерном окне меняется.

Пример. Через команды Уравнениеявное построим график функции y=log(2,x). Далее через команды Одна функцияПоверхность вращения открываем диалоговое окно, в котором ставим границы для интервала по переменной х от 2 до 3@k, угол вращения по умолчанию от 0 до 2pi. Нажимаем рисовать поверхность. Появляется 3D окно с изображением тела вращения, а также к нему собственное инвентарное окно. В 3D окне через команды АнимацияОтдельноК открываем окно с бегунком для параметра К, значения которого меняются от 2 до 3. Перемещаем бегунок, наблюдаем за увеличением поверхности вдоль оси х.

Подробности:
Вложение:
инт41.gif
инт41.gif [ 15.88 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт42.gif
инт42.gif [ 18.85 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Теперь опять через команды Одна функцияПоверхность вращения открываем диалоговое окно (если оно было закрыто), в котором ставим границы для интервала по переменной х от 2 до 5, угол вращения от 0 до 2p@k. Нажимаем рисовать поверхность. Появляется 3D окно с изображением тела вращения, а также к нему собственное инвентарное окно. В 3D окне через команды АнимацияОтдельноК открываем окно с бегунком для параметра К, значения которого меняются от 0 до 2pi. Перемещаем бегунок, наблюдаем за изменением поверхности при вращении.

Подробности:
Вложение:
инт43.gif
инт43.gif [ 15.96 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт44.gif
инт44.gif [ 13.66 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт45.gif
инт45.gif [ 18.11 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Криволинейный интеграл

Выберите векторное поле из первого ниспадающего списка и параметрическую кривую из второго списка. Щелкните "значение", чтобы получить результат интегрирования поля по дуге, определенной максимальным и минимальным значениями для t. Точность вычисления зависит от числа делений на подинтервалы.

Пример. Вычислим криволинейный интеграл второго рода от выражения `x^2ydy-y^2xdx`, где `x=sqrt(cos(t))`, `y=sqrt(sin(t))`, `0<=t<=pi/2`.
Задаем векторное поле через команды УравнениеДифференциальное уравнениеdx/dt… Через команды Уравнениепараметрическое задаем параметрическую кривую с интервалом для параметра от 0 до pi/2.

Подробности:
Вложение:
инт46.gif
инт46.gif [ 19.15 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт47.gif
инт47.gif [ 25.36 KIB | Просмотров: 2665 ]

Подробности:
Вложение:
инт48.gif
инт48.gif [ 11.86 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интегрирование
 Сообщение Добавлено: 04 мар 2012, 23:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 30 июн 2010, 12:47
Сообщений: 1875
Далее через команды Две функцииЛинейный интеграл в первом поле диалогового окна по умолчанию записано векторное поле, во втором поле параметрическая кривая. Значения для параметра устанавливаем от 0 до pi/2. Нажимаем значение, получаем результат 0.785.

Упражнение. Вычислите криволинейный интеграл второго рода от выражения `ydx-(y+x^2)dy` по кривой К, где К – дуга параболы `y=2x-x^2`, расположенной над осью Ох и пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Подробности:
Вложение:
инт49.gif
инт49.gif [ 14.69 KIB | Просмотров: 2665 ]


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: