Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 23:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 мар 2017, 00:02
Сообщений: 29
Предположим, есть две функции `f(x) = x^3 + 2x^2 + 4` и `g(x) = kx`. При `k = 7` прямая, задаваемая линейной функцией `g(x)`, будет касаться графика функции `f(x)` в точке с координатами `(1;7)`.
Вопрос: как теперь лаконично, но строго обосновать, что при `k > 7` найдется такое значение `x_0 > 1`, что `f(x_0) = g(x_0)`.
Другими словами, как показать, что при `k > 7` прямая обязательно пересечет график `f(x)` более, чем в одной точке.
Что при `k>7` и `x>0` "картинка" не может быть такой:
Подробности:
Изображение
а всегда будет такой:
Подробности:
Изображение


Благодарю!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 00:58 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1401
Использовать выпуклость многочлена на [0,+беск]. И то, что третья степень растет быстрее первой.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 05:56 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06
Сообщений: 696
Откуда: Кемерово
math-study писал(а):
Предположим, есть две функции `f(x) = x^3 + 2x^2 + 4` и `g(x) = kx`. При `k = 7` прямая, задаваемая линейной функцией `g(x)`, будет касаться графика функции `f(x)` в точке с координатами `(1;7)`.
Вопрос: как теперь лаконично, но строго обосновать, что при `k > 7` найдется такое значение `x_0 > 1`, что `f(x_0) = g(x_0)`.
Подробности:
Можно так. Пусть `k>7` и `h(x)=f(x)-g(x)\ \=>\ \h(0)>0,\ \h(1)<0\ \=>` по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции между нулем и единицей есть корень функции `h(x)`. Далее, так как `lim_(x->+oo)h(x)=+oo`, начиная с некоторых `x>1`, будет `h(x)>0`. Пусть, например, `h(x_1)>0\ \=>` между единицей и `x_1` найдется еще корень.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 13:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 май 2012, 10:56
Сообщений: 175
math-study писал(а):
Предположим, есть две функции `f(x) = x^3 + 2x^2 + 4` и `g(x) = kx`. При `k = 7` прямая, задаваемая линейной функцией `g(x)`, будет касаться графика функции `f(x)` в точке с координатами `(1;7)`.
Вопрос: как теперь лаконично, но строго обосновать, что при `k > 7` найдется такое значение `x_0 > 1`, что `f(x_0) = g(x_0)`.
Другими словами, как показать, что при `k > 7` прямая обязательно пересечет график `f(x)` более, чем в одной точке.

Эквивалентная задача: доказать, что при `x>1` функция `h(x) = f(x) - g(x) = x^3 + 2x^2 + 4 - kx` имеет хотя бы один корень (при `k>7`).
Решение.
`h(1) = 7-k<0`,
`h(k) = k^3+k^2+4>0`.
Так как функция `h(x)` непрерывна, то на интервале `(1;k)` имеет корень. Если Вы школьник, то это "очевидно". Если Вы студент, то это следует из теоремы Вейерштрасса/Больцано-Коши о прохождении непрерывной функции через промежуточное значение.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 13:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1401
Все равно следующий вопрос учителя будет: "доказать, что пересечений РОВНО два". И тут выпуклость будет очень кстати. Правда тут многочлен небольшой степени, так что и так можно обойтись, но такая лафа бывает не всегда.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 13:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 май 2012, 10:56
Сообщений: 175
alex123 писал(а):
Все равно следующий вопрос учителя будет: "доказать, что пересечений РОВНО два". И тут выпуклость будет очень кстати. Правда тут многочлен небольшой степени, так что и так можно обойтись, но такая лафа бывает не всегда.

Выпуклость использовать необязательно.
`h(0)=4>0`,
`h(1)=7-k<0`,
`h(k)=k^3+k^2+4>0`.
На интервалах `(0;1)` и `(1;k)` есть хотя бы по одному корню.
Если учитель требует "доказать, что пересечений РОВНО два", надо мягко, но настойчиво объяснить ему, что это невозможно, так как пересечений ровно три, а не два. Третье пересечение будет на интервале `(-k;0)` (по аналогичным соображениям). Четвёртому пересечению не бывать, так как кубический многочлен не может иметь более трёх корней.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 13:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1401
serg_l писал(а):
Если учитель требует "доказать, что пересечений РОВНО два", надо мягко, но настойчиво объяснить ему, что это невозможно, так как пересечений ровно три, а не два.



Такие упоротые учителя - большая редкость :)
А нормальный учитель таки попросит доказать, что пересечений РОВНО два, на интервале (0, +беск), о котором и шла речь ранее :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 13:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 май 2012, 10:56
Сообщений: 175
alex123 писал(а):
Такие упоротые учителя - большая редкость :)
А нормальный учитель таки попросит доказать, что пересечений РОВНО два, на интервале (0, +беск), о котором и шла речь ранее :)

ТС сформулировал два варианта задачи:
1) обосновать, что при `k>7` найдется такое значение `x_0>1`, что `f(x0)=g(x0)`.
2) показать, что при `k>7` прямая обязательно пересечет график `f(x)` более, чем в одной точке.
Ни в одном из них нет интервала (0, +беск).
Дальнейшие пассажи ТС про картинка будет "такой" или "не такой" не рассматривал ввиду отсутствия там четкости рассуждений.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Пересечение графиков функций
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 14:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1401
serg_l писал(а):
alex123 писал(а):
Такие упоротые учителя - большая редкость :)
А нормальный учитель таки попросит доказать, что пересечений РОВНО два, на интервале (0, +беск), о котором и шла речь ранее :)

ТС сформулировал два варианта задачи:
1) обосновать, что при `k>7` найдется такое значение `x_0>1`, что `f(x0)=g(x0)`.
2) показать, что при `k>7` прямая обязательно пересечет график `f(x)` более, чем в одной точке.
Ни в одном из них нет интервала (0, +беск).
Дальнейшие пассажи ТС про картинка будет "такой" или "не такой" не рассматривал ввиду отсутствия там четкости рассуждений.


1. Всегда думал, что единица положительна :)
2. Да, прямо и буквально нет. Но иногда полезно додумывать задачу, особенно если это не изменяет ее сути и помогает решению :)

Ругает жена мужа.
- Хватит пить! Сходи на кладбище и посмотри, сколько народа умерло от водки!

Сходил мужик на кладбище и вернулся пьянее пьяного.

- Ты что так напился то?
- Читал надписи на памятниках: от жены, от детей, от колллег.... От водки никто не умер.

Это я к тому, что не надо все воспринимать буквально :)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: