Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 12 сен 2017, 12:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 июл 2017, 10:12
Сообщений: 23
Здравствуйте! Прошу помочь с решением следующего неравенства
`sqrt(25-(x^2))+sqrt((x^2)-7*x)>3`
ОДЗ неравенства - отрезок [-5; 0]. Сначала я начал его решать с помощью тригонометрической замены: `x=5*cos(t)`, где t пробегает все значения от `pi/2` до `pi` (косинус при этом изменяется от -1 до 0). В результате получилось сложное тригонометрическое неравенство, которое (как мне кажется) можно было бы решить путем рационализации (с помощью универсальной тригонометрической подстановки). Но в этом случае мы получаем в левой части неравенства алгебраическую дробь, числителем которой является многочлен четвертой степени, не имеющий рациональных корней. Тупиковый путь.
Стал решать по-другому. Уединив корень `sqrt(25-x^2)`, рассмотрел два случая:
`sqrt(25-(x)^2)>3-sqrt((x)^2-7*x)`
1. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)<0` неравенство выполнено при всех допустимых `x` в левой части. C учетом ОДЗ, множеством решений в этом случае является - `[-5; (7-sqrt(85))/2)`.
2. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` возводим обе части неравенства в квадрат и после приведения подобных слагаемых получаем:
`6*sqrt((x)^2-7*x)>2*(x)^2-7*x-16`
Если действовать стандартным путем, нам потребуется возводить в квадрат трехчлен в правой части, в результате получится неравенство четвертой степени, которое решить довольно сложно. Попробовал рассуждать следующим образом:
трехчлен `2*(x)^2-7*x-16` на отрезке `[(7-sqrt(85))/2; 0]` (имеется ввиду отрезок, на котором `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` и соблюдены требования по ОДЗ) принимает отрицательные значения, поэтому неравенство выполнено при всех `x` из этого отрезка.
Объединив результаты из 1-го и 2-го пунктов решения, получаем, что исходное неравенство выполнено при любом `x` из ОДЗ, т.е. из отрезка `[-5; 0]`.
Ответьте, пожалуйста, верны ли мои рассуждения?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 12 сен 2017, 13:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4711
Откуда: Москва
Подробности:
Николай99 писал(а):
Здравствуйте! Прошу помочь с решением следующего неравенства
`sqrt(25-(x^2))+sqrt((x^2)-7*x)>3`
ОДЗ неравенства - отрезок [-5; 0]. Сначала я начал его решать с помощью тригонометрической замены: `x=5*cos(t)`, где t пробегает все значения от `pi/2` до `pi` (косинус при этом изменяется от -1 до 0). В результате получилось сложное тригонометрическое неравенство, которое (как мне кажется) можно было бы решить путем рационализации (с помощью универсальной тригонометрической подстановки). Но в этом случае мы получаем в левой части неравенства алгебраическую дробь, числителем которой является многочлен четвертой степени, не имеющий рациональных корней. Тупиковый путь.
Стал решать по-другому. Уединив корень `sqrt(25-x^2)`, рассмотрел два случая:
`sqrt(25-(x)^2)>3-sqrt((x)^2-7*x)`
1. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)<0` неравенство выполнено при всех допустимых `x` в левой части. C учетом ОДЗ, множеством решений в этом случае является - `[-5; (7-sqrt(85))/2)`.
2. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` возводим обе части неравенства в квадрат и после приведения подобных слагаемых получаем:
`6*sqrt((x)^2-7*x)>2*(x)^2-7*x-16`
Если действовать стандартным путем, нам потребуется возводить в квадрат трехчлен в правой части, в результате получится неравенство четвертой степени, которое решить довольно сложно. Попробовал рассуждать следующим образом:
трехчлен `2*(x)^2-7*x-16` на отрезке `[(7-sqrt(85))/2; 0]` (имеется ввиду отрезок, на котором `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` и соблюдены требования по ОДЗ) принимает отрицательные значения, поэтому неравенство выполнено при всех `x` из этого отрезка.
Объединив результаты из 1-го и 2-го пунктов решения, получаем, что исходное неравенство выполнено при любом `x` из ОДЗ, т.е. из отрезка `[-5; 0]`.
Ответьте, пожалуйста, верны ли мои рассуждения?

1. `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x)>3.`

а) `-5 le x le 0.`

б) `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x) ge sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-5x)=sqrt(5-x)(sqrt(x+5)+sqrt(-x)) ge (sqrt5)*(sqrt5)=5 gt 3.`

Ответ: `x in [-5; quad 0].`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 12 сен 2017, 17:52 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 июл 2017, 10:12
Сообщений: 23
OlG писал(а):
Подробности:
Николай99 писал(а):
Здравствуйте! Прошу помочь с решением следующего неравенства
`sqrt(25-(x^2))+sqrt((x^2)-7*x)>3`
ОДЗ неравенства - отрезок [-5; 0]. Сначала я начал его решать с помощью тригонометрической замены: `x=5*cos(t)`, где t пробегает все значения от `pi/2` до `pi` (косинус при этом изменяется от -1 до 0). В результате получилось сложное тригонометрическое неравенство, которое (как мне кажется) можно было бы решить путем рационализации (с помощью универсальной тригонометрической подстановки). Но в этом случае мы получаем в левой части неравенства алгебраическую дробь, числителем которой является многочлен четвертой степени, не имеющий рациональных корней. Тупиковый путь.
Стал решать по-другому. Уединив корень `sqrt(25-x^2)`, рассмотрел два случая:
`sqrt(25-(x)^2)>3-sqrt((x)^2-7*x)`
1. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)<0` неравенство выполнено при всех допустимых `x` в левой части. C учетом ОДЗ, множеством решений в этом случае является - `[-5; (7-sqrt(85))/2)`.
2. Если `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` возводим обе части неравенства в квадрат и после приведения подобных слагаемых получаем:
`6*sqrt((x)^2-7*x)>2*(x)^2-7*x-16`
Если действовать стандартным путем, нам потребуется возводить в квадрат трехчлен в правой части, в результате получится неравенство четвертой степени, которое решить довольно сложно. Попробовал рассуждать следующим образом:
трехчлен `2*(x)^2-7*x-16` на отрезке `[(7-sqrt(85))/2; 0]` (имеется ввиду отрезок, на котором `3-sqrt((x)^2-7*x)>=0` и соблюдены требования по ОДЗ) принимает отрицательные значения, поэтому неравенство выполнено при всех `x` из этого отрезка.
Объединив результаты из 1-го и 2-го пунктов решения, получаем, что исходное неравенство выполнено при любом `x` из ОДЗ, т.е. из отрезка `[-5; 0]`.
Ответьте, пожалуйста, верны ли мои рассуждения?

1. `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x)>3.`

а) `-5 le x le 0.`

б) `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x) ge sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-5x)=sqrt(5-x)(sqrt(x+5)+sqrt(-x)) ge (sqrt5)*(sqrt5)=5 gt 3.`

Ответ: `x in [-5; quad 0].`


Спасибо Вам огромное за короткое и изящное решение! Радует, что мой ответ совпал с Вашим. Если несложно, скажите, пожалуйста, верно ли я обосновал свой вариант решения задачи? Зачтут ли такое решение на экзамене?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 12 сен 2017, 22:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4711
Откуда: Москва
Подробности:
Николай99 писал(а):
OlG писал(а):
1. `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x)>3.`

а) `-5 le x le 0.`

б) `sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-7x) ge sqrt(25-x^2)+sqrt(x^2-5x)=sqrt(5-x)(sqrt(x+5)+sqrt(-x)) ge (sqrt5)*(sqrt5)=5 gt 3.`

Ответ: `x in [-5; quad 0].`


Спасибо Вам огромное за короткое и изящное решение! Радует, что мой ответ совпал с Вашим. Если несложно, скажите, пожалуйста, верно ли я обосновал свой вариант решения задачи? Зачтут ли такое решение на экзамене?

2. Зачтут.
Подробности:
Поскольку не знаю о каком экзамене идет речь, то добавил бы
обоснование `2*(x)^2-7*x-16<0` на отрезке `[(7-sqrt(85))/2; 0]`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 13 сен 2017, 12:45 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1433
Можно и еще проще. На (-4;0] первый радикал >3.
На [-5;-4] второй радикал >4.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 13 сен 2017, 13:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 109
Я бы так решала:
`sqrt(5^2-x^2)+sqrt((x-7/2)^2-(7/2)^2)>3`
ОДЗ [-5; 0].

Первый радикал вместе с числом 3 у меня вызвал ассоциацию с пифагорейским треугольником. Поэтому стоит рассмотреть случаи для `|x|<4` и `|x|>=4`.

С учётом ОДЗ и того, что левая часть представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых:
1) Если `-4<x<=0`, то первый радикал уже больше 3, значит, сумма тем более больше 3.
2) Если `-5<=x<=-4`, то `sqrt((x-7/2)^2-(7/2)^2)>=sqrt((-4-7/2)^2-(7/2)^2)=1/2 sqrt(15^2-7^2)=2 sqrt(11)>2 sqrt(9)=6`. Таким образом, и в этом случае сумма больше 3.

------------
Пока набирала текст, уже пришёл похожий ответ :)


Последний раз редактировалось radix 15 сен 2017, 12:21, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 13 сен 2017, 13:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4711
Откуда: Москва
Подробности:
alex123 писал(а):
Можно и еще проще. На (-4;0] первый радикал >3.
На [-5;-4] второй радикал >4.

3. Спасибо. Утащил в норку.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 13 сен 2017, 16:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1433
radix писал(а):
`sqrt((x-7/2)^2-(7/2)^2)>3>=sqrt((-4-7/2)^2-(7/2)^2)=1/2 sqrt(15^2-7^2)=2 sqrt(11)>2 sqrt(9)=6`.



Забавная цепочка, ибо в ней написано, что `3>=6` :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 14 сен 2017, 09:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 июл 2017, 10:12
Сообщений: 23
Всем спасибо за ответы! Предлагаю рассмотреть вот такое иррациональное уравнение:
`sqrt(x-1)+sqrt((x-1)*(x+1))-sqrt(x^3)=0`
Решал его следующим образом (думаю, существуют более оптимальные варианты решения):
1. ОДЗ: `x>=1`
2. Перенесем радикал `sqrt(x^3)` в правую часть. В результате обе части уравнения станут неотрицательными и мы имеем право возвести их в квадрат.
`x-1+2*sqrt(x-1)*sqrt((x^2-1))+x^2-1=x^3`
3. Запишем произведение радикалов `sqrt(x-1)*sqrt((x^2-1))` под общим знаком квадратного корня (данное преобразование является допустимым, поскольку не приводит к сужению ОДЗ).
`x-1+2*sqrt((x-1)*(x^2-1))+x^2-1=x^3`.
4. После раскрытия скобок в подкоренном выражении преобразуем уравнение к виду:
`2*sqrt(x^3-x^2-x+1)-(x^3-x^2-x+1)-1=0`.
5. Введем замену переменной: `t=sqrt(x^3-x^2-x+1)`
В результате уравнение сводится к квадратному относительно переменной `t`
`t^2-2*t+1=0`; `t=1`.
6. После обратной замены, получим:
`x^3-x^2-x+1=1`
Отсюда: `x=0`, `x=(1-sqrt(5))/2` (не принадлежат ОДЗ);
`x=(1+sqrt(5))/2` `in [1; infty)`.
Ответ: `x=(1+sqrt(5))/2`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Иррациональное неравенство
 Сообщение Добавлено: 14 сен 2017, 10:15 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 779
Откуда: Москва
Не намного проще, некоторые переходы нужно обосновать:


Вложения:
fullsizeoutput_27d.jpeg
fullsizeoutput_27d.jpeg [ 922.64 KIB | Просмотров: 267 ]

_________________
Нужно бежать со всех ног, чтобы только оставаться на месте, а чтобы куда-то попасть, надо бежать как минимум вдвое быстрее!
Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: