Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Помогите решить задачу!
 Сообщение Добавлено: 19 июл 2019, 16:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июл 2019, 16:53
Сообщений: 1
Дви планиметрия.
Прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе AB, стоят точки D и E так, что AD:DB=BE:EA=1:4.
Найдите AB, если тангенс угла DCE равен 5/3, а площадь треугольника ABC=18


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите решить задачу!
 Сообщение Добавлено: 19 июл 2019, 21:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Подробности:
Матвей222 писал(а):
Дви планиметрия.
Прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе AB, стоят точки D и E так, что AD:DB=BE:EA=1:4.
Найдите AB, если тангенс угла DCE равен 5/3, а площадь треугольника ABC=18

1. `AD=BE=x, quad DE=3x, quad AB=5x, quad CD=y, quad CE=z, quad angle DCE = phi.`

2. `CD^2+CE^2-2*CD*CE*cos phi = DE^2, quad y^2+z^2-2*y*z*cos phi = 9x^2, quad 1/2(25x^2+9x^2)-4*S_(CDE)*ctg phi = 9x^2, quad`

`qquad 17x^2-4*(3*S_(ABC))/5*ctg phi = 9x^2, quad 17x^2-4*(3*18)/5*3/5 = 9x^2, quad x^2=(81)/(25), quad 5x=9.`

Ответ: `9.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите решить задачу!
 Сообщение Добавлено: 19 июл 2019, 21:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2013, 09:51
Сообщений: 294
1)Какую часть от `AB` составляют `AD, DE, EB`, чему тогда равна площадь треугольника `DCE`?
2)Проведите в треугольнике `CDE` медиану `CM`, какую часть ее длина составляет от длины `AB` ?
3)В треугольнике `DCE` воспользуйтесь теоремой косинусов и формулой длины медианы через длины трёх сторон. Пусть `AB = t`, чему тогда равно `2DC*EC*sin(/_DCE)` и соответственно площадь треугольника `CDE`?
4)Зная численное значение площади треугольника `CDE` и её значение, выраженное через `t`, найдите значение `t`.

Решение:
Подробности:
`AD = BE = 1/5 AB; DE = 3/5 AB`. Пусть `AB = 5x`, тогда `DE=3x`; в треугольнике `ABC` проводим медиану `CM`. `CM` также будет медианой и в треугольнике `CDE`. тогда `CM=2.5x`.Пусть `CD=y, CE=z`. Рассмотрим треугольник `CDE`: пусть `/_DCE=alpha` ; по теореме косинусов получаем: `y^2+z^2-2yzcos(alpha)=9x^2 (1)`; По формуле для медианы треугольника имеем: `y^2/2 +z^2/2 - 2.25x^2 = 6.25x^2 (2)`; Из равенств `(1)` и `(2)` получаем `2yzcos(alpha)=8x^2`, тогда `2yzsin(alpha) = 8x^2*tg(alpha)=(40x^2)/3`, тогда площадь треугольника `CDE =(10x^2)/3`. Так как высота, проведенная из вершины `C` одинакова для треугольников `ABC` и `CDE`, то `(S(ABC))/(S(DCE))=(5x)/(3x)=5/3`, откуда `S(DCE) = 54/5`.Имеем `(10x^2)/3=54/5 <=> x^2 = 3.24`, положительный корень этого уравнения, очевидно `x=1.8`, тогда `AB = 5x = 9`


UPD: опоздал


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: