Дви планиметрия. Прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе AB, стоят точки D и E так, что AD:DB=BE:EA=1:4. Найдите AB, если тангенс угла DCE равен 5/3, а площадь треугольника ABC=18
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Матвей222 писал(а):
Дви планиметрия. Прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе AB, стоят точки D и E так, что AD:DB=BE:EA=1:4. Найдите AB, если тангенс угла DCE равен 5/3, а площадь треугольника ABC=18
1)Какую часть от `AB` составляют `AD, DE, EB`, чему тогда равна площадь треугольника `DCE`? 2)Проведите в треугольнике `CDE` медиану `CM`, какую часть ее длина составляет от длины `AB` ? 3)В треугольнике `DCE` воспользуйтесь теоремой косинусов и формулой длины медианы через длины трёх сторон. Пусть `AB = t`, чему тогда равно `2DC*EC*sin(/_DCE)` и соответственно площадь треугольника `CDE`? 4)Зная численное значение площади треугольника `CDE` и её значение, выраженное через `t`, найдите значение `t`.
Решение:
Подробности:
`AD = BE = 1/5 AB; DE = 3/5 AB`. Пусть `AB = 5x`, тогда `DE=3x`; в треугольнике `ABC` проводим медиану `CM`. `CM` также будет медианой и в треугольнике `CDE`. тогда `CM=2.5x`.Пусть `CD=y, CE=z`. Рассмотрим треугольник `CDE`: пусть `/_DCE=alpha` ; по теореме косинусов получаем: `y^2+z^2-2yzcos(alpha)=9x^2 (1)`; По формуле для медианы треугольника имеем: `y^2/2 +z^2/2 - 2.25x^2 = 6.25x^2 (2)`; Из равенств `(1)` и `(2)` получаем `2yzcos(alpha)=8x^2`, тогда `2yzsin(alpha) = 8x^2*tg(alpha)=(40x^2)/3`, тогда площадь треугольника `CDE =(10x^2)/3`. Так как высота, проведенная из вершины `C` одинакова для треугольников `ABC` и `CDE`, то `(S(ABC))/(S(DCE))=(5x)/(3x)=5/3`, откуда `S(DCE) = 54/5`.Имеем `(10x^2)/3=54/5 <=> x^2 = 3.24`, положительный корень этого уравнения, очевидно `x=1.8`, тогда `AB = 5x = 9`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения