Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 04 июн 2016, 12:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 июн 2016, 12:08
Сообщений: 1
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел выполняется условие bn > b1 + b2 + ... +bn-1 при всех n.
Может ли выполняться условие (b1+b2+b3...bn)/n <=2015 при всех n?

Я написал свое доказательство, но не уверен в том, что оно до конца верное и вообще хотел бы узнать о том правильное оно или нет.
p.s. Ответ сам верен. Ответ нет, т.к. При n -> inf выполняется неравенство b1+b2+...+bn > bn > 2015n.


Вложения:
Комментарий к файлу: Само решение
qwo8MxqhSAI.jpg
qwo8MxqhSAI.jpg [ 889.24 KIB | Просмотров: 2244 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 22:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 27 дек 2017, 23:35
Сообщений: 6
Откуда: Москва
Подскажите, пожалуйста, как найти решение этих двух задач. Именно алгоритмическое решение, а не решить с помощью интуитивной прикидки. (Не всегда, к сожалению, интуиция меня приводит к правильному решению). Задачи взяты из сборника С.Шестакова "Задачи с параметром" ЕГЭ 2018:

№1 Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в результате указанных действий? (Ответ: 1).

№2 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257. Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности. (Ответ: 72. В этой задаче для меня ответ совсем не соответствует условию. Или я неверно поняла его ).
Заранее спасибо.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 00:58 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
Подробности:
Galina Why писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как найти решение этих двух задач. Именно алгоритмическое решение, а не решить с помощью интуитивной прикидки. (Не всегда, к сожалению, интуиция меня приводит к правильному решению). Задачи взяты из сборника С.Шестакова "Задачи с параметром" ЕГЭ 2018:

№1 Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в результате указанных действий? (Ответ: 1).

№2 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257. Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности. (Ответ: 72. В этой задаче для меня ответ совсем не соответствует условию. Или я неверно поняла его ).
Заранее спасибо.

1.

а) Количество нечетных чисел в каждой группе множителей нечетно , поэтому количество
нечетных произведений нечетно и искомая сумма тоже нечетное число. Наименьшее
нечетное число `1`.

б) Осталось расставить знаки так, чтобы в обеих скобках получилось по `1`:

`qquad(2 pm 3 pm 4 pm 5 pm 6 pm 7)(13 pm 14 pm 15 pm 16 pm 17 pm 18 pm 19 pm 20 pm 21).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 01:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
2. Кратко:

а) `(257)/(1+6)=36 5/7 quad => quad N le 72`.

б) `257 equiv 5` mod `7`.

в) `(1+11) equiv 5` mod `7`.

г) Искомая последовательность: `1, quad 6, quad 1, quad 6, ..., quad 1, quad 6, quad 1, quad 11 quad - quad` 72 числа.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 01:36 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4892
Откуда: Санкт-Петербург
Vitalii писал(а):
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел выполняется условие bn > b1 + b2 + ... +bn-1 при всех n.
Может ли выполняться условие (b1+b2+b3...bn)/n <=2015 при всех n?

Я написал свое доказательство, но не уверен в том, что оно до конца верное и вообще хотел бы узнать о том правильное оно или нет.
p.s. Ответ сам верен. Ответ нет, т.к. При n -> inf выполняется неравенство b1+b2+...+bn > bn > 2015n.


Я бы решал следующим образом:
Из условия `b_n > b_1 + b_2 + ... +b_(n-1)` при всех n следует `{(b_2 > b_1),(cdots),(b_k > b_(k-1)),(cdots),(b_n >b_(n-1)):}=>{(b_2 >= b_1+1),(cdots),(b_k >= b_(k-1)+1),(cdots),(b_n >=b_(n-1)+1):}`.

Складывая неравенста и сокращая, получим `b_n>=b_1+n-1>=n`.

Суммируя последнее неравенство по n от 1 до n: `b_1+...+b_n>=1+...+n=(n(n+1))/2`. Делим на n : `(b_1+...+b_n)/n>=(n+1)/2`.

При `n=n_0=4031qquad (b_1+...+b_n)/n>=(n_0+1)/2=2016`, что противоречит условию `(b_1+b_2+...+b_n)/n <=2015` при всех n.

P.S. Вы пишете т.к. При`qquad n -> oo` выполняется неравенство` b_1+b_2+...+b_n > b_n > 2015n`. ???
При каких-то n может выполняться, а при каких-то нет.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 12:10 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
vyv2 писал(а):

Я бы решал следующим образом:



Во-первых, некропост. Постмотрите на дату первого сообщения.

Во-вторых, зачем так сложно?

Условие `bn > b1 + b2 + ... +bn-1` при всех n, добавленное то ли ради упрощения, то ли ради усложнения - лишнее.

Достаточно того, что последовательность растет [и натуральная]. Значит ее средние не могут быть ограничены.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 17:34 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 395
Возможно, имелось в виду неравенство $(b_1+b_2+\ldots+b_n)/n^2 \leqslant 2015$, которое не может выполняться при любом $n$.

Хотя почему $n^2$, можно хоть $n^{2018}$, ведь последовательность $b_n$ имеет экспоненциальный рост.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: 19 задание, целые числа
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 23:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
nnosipov писал(а):
Возможно, имелось в виду неравенство $(b_1+b_2+\ldots+b_n)/n^2 \leqslant 2015$, которое не может выполняться при любом $n$.

Хотя почему $n^2$, можно хоть $n^{2018}$, ведь последовательность $b_n$ имеет экспоненциальный рост.


Такое большое количество очевидных вопросов намекает на то, что либо автор не понимает свою задачу, либо озабочен облегчением[или усложнением] ее условия для потенциальных решателей.

Ну или у него этих задач целая серия, конечная задача в которой уже имеет нормальную человеческую постановку.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: