В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел выполняется условие bn > b1 + b2 + ... +bn-1 при всех n. Может ли выполняться условие (b1+b2+b3...bn)/n <=2015 при всех n?
Я написал свое доказательство, но не уверен в том, что оно до конца верное и вообще хотел бы узнать о том правильное оно или нет. p.s. Ответ сам верен. Ответ нет, т.к. При n -> inf выполняется неравенство b1+b2+...+bn > bn > 2015n.
Вложения:
Комментарий к файлу: Само решение qwo8MxqhSAI.jpg [ 889.24 KIB | Просмотров: 5845 ]
Зарегистрирован: 27 дек 2017, 23:35 Сообщений: 18 Откуда: Москва
Подскажите, пожалуйста, как найти решение этих двух задач. Именно алгоритмическое решение, а не решить с помощью интуитивной прикидки. (Не всегда, к сожалению, интуиция меня приводит к правильному решению). Задачи взяты из сборника С.Шестакова "Задачи с параметром" ЕГЭ 2018:
№1 Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в результате указанных действий? (Ответ: 1).
№2 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257. Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности. (Ответ: 72. В этой задаче для меня ответ совсем не соответствует условию. Или я неверно поняла его ). Заранее спасибо.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Galina Why писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как найти решение этих двух задач. Именно алгоритмическое решение, а не решить с помощью интуитивной прикидки. (Не всегда, к сожалению, интуиция меня приводит к правильному решению). Задачи взяты из сборника С.Шестакова "Задачи с параметром" ЕГЭ 2018:
№1 Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, ... , 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в результате указанных действий? (Ответ: 1).
№2 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257. Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности. (Ответ: 72. В этой задаче для меня ответ совсем не соответствует условию. Или я неверно поняла его ). Заранее спасибо.
1.
а) Количество нечетных чисел в каждой группе множителей нечетно , поэтому количество нечетных произведений нечетно и искомая сумма тоже нечетное число. Наименьшее нечетное число `1`.
б) Осталось расставить знаки так, чтобы в обеих скобках получилось по `1`:
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
Vitalii писал(а):
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел выполняется условие bn > b1 + b2 + ... +bn-1 при всех n. Может ли выполняться условие (b1+b2+b3...bn)/n <=2015 при всех n?
Я написал свое доказательство, но не уверен в том, что оно до конца верное и вообще хотел бы узнать о том правильное оно или нет. p.s. Ответ сам верен. Ответ нет, т.к. При n -> inf выполняется неравенство b1+b2+...+bn > bn > 2015n.
Я бы решал следующим образом: Из условия `b_n > b_1 + b_2 + ... +b_(n-1)` при всех n следует `{(b_2 > b_1),(cdots),(b_k > b_(k-1)),(cdots),(b_n >b_(n-1)):}=>{(b_2 >= b_1+1),(cdots),(b_k >= b_(k-1)+1),(cdots),(b_n >=b_(n-1)+1):}`.
Складывая неравенста и сокращая, получим `b_n>=b_1+n-1>=n`.
Суммируя последнее неравенство по n от 1 до n: `b_1+...+b_n>=1+...+n=(n(n+1))/2`. Делим на n : `(b_1+...+b_n)/n>=(n+1)/2`.
При `n=n_0=4031qquad (b_1+...+b_n)/n>=(n_0+1)/2=2016`, что противоречит условию `(b_1+b_2+...+b_n)/n <=2015` при всех n.
P.S. Вы пишете т.к. При`qquad n -> oo` выполняется неравенство` b_1+b_2+...+b_n > b_n > 2015n`. ??? При каких-то n может выполняться, а при каких-то нет.
Возможно, имелось в виду неравенство $(b_1+b_2+\ldots+b_n)/n^2 \leqslant 2015$, которое не может выполняться при любом $n$.
Хотя почему $n^2$, можно хоть $n^{2018}$, ведь последовательность $b_n$ имеет экспоненциальный рост.
Такое большое количество очевидных вопросов намекает на то, что либо автор не понимает свою задачу, либо озабочен облегчением[или усложнением] ее условия для потенциальных решателей.
Ну или у него этих задач целая серия, конечная задача в которой уже имеет нормальную человеческую постановку.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения