jagdish писал(а):
$\displaystyle 99^{50}-\binom{99}{1}(98)^{50}+\binom{99}{2}(97)^{50}-\cdots \cdots +99=$
$\displaystyle =0$
Where did you disappear starting in 2013?
Переставим слагаемые в сумме для удобства:
$\displaystyle 99^{50}-\binom{99}{1}(98)^{50}+\binom{99}{2}(97)^{50}-\cdots \cdots +99=$
`=-(((99),(0))0^50-((99),(1))1^50+((99),(2))2^50-((99),(3))3^50+...+((99),(97))97^50-((99),(98))98^50+((99),(99))99^50)=`
`=-sum_(k=0)^99 (-1)^k ((99),(k))k^50`
Введем обозначения `n=99, M=50, m=0-:M < n=99`. Тогда данную сумму можно записать `S_M=-sum_(k=0)^n (-1)^k ((n),(k))k^M`
`f(x)=(1-x)^n=sum_(k=0)^n (-1)^k ((n),(k))x^k`
При х=1, m=0 `f(1)=0=S_0=sum_(k=0)^n (-1)^k ((n),(k))`
`f'(x)=n(1-x)^(n-1)=sum_(k=1)^n (-1)^k k((n),(k))x^(k-1)`
При х=1, m=1 `f'(1)=0=S_1=sum_(k=1)^n (-1)^k k((n),(k))=sum_(k=0)^n (-1)^k k((n),(k))`
`f''(x)=(n^2-n)(1-x)^(n-2)=sum_(k=1)^n (-1)^k k(k-1)((n),(k))x^(k-2)=sum_(k=1)^n (-1)^k k^2((n),(k))x^(k-2)-sum_(k=1)^n (-1)^k k((n),(k))x^(k-2)`
При х=1, m=2 `f''(1)=0=S_2=sum_(k=1)^n (-1)^k k^2((n),(k))-S_1=sum_(k=0)^n (-1)^k k^2((n),(k))
и так далее до m=M. Главное, чтобы `M < n`. Получим `S_M=0`.