шарлотта писал(а):
Здравствуйте!
Прошу помочь в решении задачи. Требуется найти предел d^n(x/sin(x))/(dx)^n при x->0 при п>26. Пробовала вычислять в Вольфраме, но находит значение только при n<21. Как можно найти значение предела при больших n?
Буду очень благодарна за помощь!
Меня интересует, в каком учебном заведении предложена задача?
Если решении этой задачи актуально, то могу представить решение (долго набирать).
Вкратце надо заметить, что функция четная, и поэтому ее ряд Тейлора в окрестности нуля состоит из четных степеней х. Следовательно n-ая производная будут отлична от нуля только при четной n, причем ее значение будет равно коэффициенту при `x^n`.
Если функцию `x/sinx` представить в виде `1+q(x)+q^2(x)+...+q^(n/2)(x)+o(x^n)`, где `q(x)=x^2/3!-x^4/5!+...+(-1)^(n/2+1)x^n/(n+1)!+o(x^n)`, и далее выбрать слагаемые при `x^n`(остальные слагаемые уничтожаются или при дифференцировании, или при стремлении х к нулю) , то после взятия n-ой производной получим требуемый предел.
Слагаемые c `x^n`в `q^k(x) ` можно найти используя формулу полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых: `(x_1+x_2+...+x_(n/2))^k`.
Я проверил алгоритм для `n=0,2,4,6,8`. Пределы равны соответственно `1,1/3,7/15,31/21,127/15`, что совпало с Вольфрамом. Можно получить формулу для любого n.
Нашел сайт, где можно получить ответ n>30
http://allcalc.ru/node/688