Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 23 фев 2017, 23:06 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 мар 2014, 18:11
Сообщений: 180
В том-то и проблема, что нет никаких идей, как можно подступиться к задаче.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 23 фев 2017, 23:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 649
Используя формулу Лейбница для производных произведения функций, сведите задачу к вычислению произведения `n ` на производную синуса порядка `n-1` в точке `0`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 23 фев 2017, 23:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 мар 2014, 18:11
Сообщений: 180
Спасибо!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 26 фев 2017, 20:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
шарлотта писал(а):
Здравствуйте!
Прошу помочь в решении задачи. Требуется найти предел d^n(x/sin(x))/(dx)^n при x->0 при п>26. Пробовала вычислять в Вольфраме, но находит значение только при n<21. Как можно найти значение предела при больших n?
Буду очень благодарна за помощь!

Меня интересует, в каком учебном заведении предложена задача?
Если решении этой задачи актуально, то могу представить решение (долго набирать).
Вкратце надо заметить, что функция четная, и поэтому ее ряд Тейлора в окрестности нуля состоит из четных степеней х. Следовательно n-ая производная будут отлична от нуля только при четной n, причем ее значение будет равно коэффициенту при `x^n`.
Если функцию `x/sinx` представить в виде `1+q(x)+q^2(x)+...+q^(n/2)(x)+o(x^n)`, где `q(x)=x^2/3!-x^4/5!+...+(-1)^(n/2+1)x^n/(n+1)!+o(x^n)`, и далее выбрать слагаемые при `x^n`(остальные слагаемые уничтожаются или при дифференцировании, или при стремлении х к нулю) , то после взятия n-ой производной получим требуемый предел.
Слагаемые c `x^n`в `q^k(x) ` можно найти используя формулу полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых: `(x_1+x_2+...+x_(n/2))^k`.
Я проверил алгоритм для `n=0,2,4,6,8`. Пределы равны соответственно `1,1/3,7/15,31/21,127/15`, что совпало с Вольфрамом. Можно получить формулу для любого n.
Нашел сайт, где можно получить ответ n>30 http://allcalc.ru/node/688

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 27 фев 2017, 18:22 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 649
Пусть `f(x)=\frac{x}{\sin x}`. Тогда из соотношения `f(x)\sin x=x` при `n>1` для производных левой и правой частей порядка `n+1` по правилу Лейбница для производных произведения получается равенство `\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^k f^{(k)}(x)\sin^{(n+1-k)}(x)=0` .
Обозначая производную `f` порядка `n` в точке `x=0` через `a_n`, с учетом известного свойства производных синуса `\sin^{(m)} x=\sin (x+m\cdot \frac{\pi}{2})` приходим к соотношению
`\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^k a_k\sin ((n+1-k)\cdot \frac{\pi}{2})=0` .

Принимая во внимание равенства нулю в точке `x=0` производных нечетного порядка четной функции `f`, для `n=2m` получаем `\sum_{r=0}^{m}C_{2m+1}^{2r} a_{2r}(-1)^{m-r}=0` . Отсюда `C_{2m+1}^{2m} a_{2m}+\sum_{r=0}^{m-1}C_{2m+1}^{2r} a_{2r}(-1)^{m-r}=0` или `a_{2m}=-\frac{1}{2m+1}\sum_{r=0}^{m-1}C_{2m+1}^{2r} a_{2r}(-1)^{m-r}`.

Теперь, зная `a_0=1`, можно последовательно найти `a_{2m}` для любого `m\in NN`. Например,
`a_2=-\frac{1}{3}\[C_{3}^{0} a_{0}(-1)^{1}\]=\frac{1}{3}`.
`a_4=-\frac{1}{5}\[C_{5}^{0} a_{0}-C_{5}^{2} a_{2}\]=\frac{7}{15}`.
`a_6=-\frac{1}{7}\[-C_{7}^{0} a_{0}+C_{7}^{2} a_{2}-C_{7}^{4} a_{4}\]=\frac{31}{21}`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 27 фев 2017, 19:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
MathUser писал(а):

Зная `a_0=1`, можно последовательно найти `a_{2m}` для любого `m\in NN`. .

Прекрасное решение с использованием рекурсии. :-bd

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 27 фев 2017, 19:38, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 27 фев 2017, 19:36 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 мар 2014, 18:11
Сообщений: 180
Спасибо Вам большое!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2017, 19:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 мар 2014, 18:11
Сообщений: 180
Здравствуйте!
Почему в точке 0 производные нечетного порядка четной функции равны 0?
И как определить, что a0=1?
Большое спасибо за ответ!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2017, 19:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 мар 2014, 18:11
Сообщений: 180
И в первом способе решения почему функцию можно представить в таком виде и как получен q(x)?
И почему значение производной будет равно коэффициенту при x^n?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: предел
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2017, 21:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
шарлотта писал(а):
Здравствуйте!
Почему в точке 0 производные нечетного порядка четной функции равны 0?
И как определить, что a0=1?
Большое спасибо за ответ!

Пусть f(x)=f(-x) - четная функция. Возьмем нечетную (2k+1) производную:
`(d^(2k+1)f(x))/(dx^(2k+1))=(d^(2k+1)f(-x))/(d(x)^(2k+1))=(-1)^(2k+1)(d^(2k+1)f(t))/(d^(2k+1)t)`, где t=-x.
При х=0 t=0 `(d^(2k+1)f(x))/(dx^(2k+1))|_(x=0)=-d^(2k+1)f(t)/(d^(2k+1)t)|_(t=0)`.
Переносим правую часть влево и получаем `2(d^(2k+1)f(x))/(dx^(2k+1))|_(x=0)=0`- величина
пропорциональная коэффициенту при `x^(2k+1)`в разложении f(x) по степеням х,
т.е. отсутствуют слагаемые с нечетной степенью.

Производная нулевой степени есть сама функция f(x)=x/sinx, которая при х=0
доопределяется до 1 для непрерывности.

Мне непонятно почему вы рассматриваете мое решение, если предложено MathUser
более простое (без разложения c моими заморочками в ряд функции `x/sin(x)` с использованием функции q(x) ) рекуррентное решение?

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 23 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.




Список форумов » Просмотр темы - предел


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: