|
Автор |
Сообщение |
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 07 апр 2017, 17:39 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
сергей королев писал(а): Однако до сих пор никто на форуме не опроверг ни одно из представленных решений. В каждом из них никакого "криминала" вроде бы нет. Однако приводят они почему-то к разным результатам. И где та граница между ужасом и истиной?... Объяснить надо учащемуся, что если вы получили правильно какое-либо неравенство `a<=x^2-y^2<=b`, то из этого еще не следует , что минимальным и максимальным значением `x^2-y^2` , будут а и b, потому что из неравенства `a<=x^2-y^2<=b`следует другое правильное неравенство `a-c<=x^2+y^2<=b+c`, где `c >0`. Или по-другому: если f(x) принимает максимальное значение b, то `f(x)<=b`, но и `f(x) <=b+c`, где `c > 0`. Однако обратное неверно - `b+c` не является максимальным значением для f(x). В предложенной задаче надо исходить из определения максимального и минимального значения, что в решениях не было сделано, т.е. оба решения неверны, хотя один из ответов верен.
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
|
|
Владимир Анатольевич
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 07 апр 2017, 20:12 |
|
Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06 Сообщений: 1183 Откуда: Кемерово
|
Оба двойных неравенства верные, но точным является только первое. И получено оно вполне законным способом: сложены два точных неравенства для двух не зависящих друг от друга переменных: `x^2` и `-y^2`. Во втором случае перемножаются два верных неравенства, но граничные значения в них достигаются при различных значениях `y`, поэтому верхняя и нижняя границы `x^2-y^2` достигаться не могут. А вообще, задача интересная.
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 07 апр 2017, 21:48 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
Владимир Анатольевич писал(а): А вообще, задача интересная. Интересно, что задачу никто не пытается решать. Только обсуждаются некоторые оценки. Функция `x^2-y^2` при каждом `y\in [3,4]` возрастает по `x\in [9,12]` от `81-y^2` до `144-y^2`. Так полученные функции убывают по `y\in [3,4]`. Поэтому минимальное значение исходной функции равно `81-16=65`, а максимальное равно `144-9=135`.
|
|
|
|
|
сергей королев
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 07 апр 2017, 21:54 |
|
Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21 Сообщений: 2041
|
Владимир Анатольевич писал(а): Во втором случае перемножаются два верных неравенства, но граничные значения в них достигаются при различных значениях `y`. Именно это и хотелось услышать
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 07 апр 2017, 22:37 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
сергей королев писал(а): Владимир Анатольевич писал(а): Во втором случае перемножаются два верных неравенства, но граничные значения в них достигаются при различных значениях `y`. Именно это и хотелось услышать Так ровно это я Вам и сказал в первом своем сообщении в данной ветке
|
|
|
|
|
сергей королев
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 08 апр 2017, 08:03 |
|
Зарегистрирован: 13 фев 2015, 20:21 Сообщений: 2041
|
alex123 писал(а): сергей королев писал(а): Владимир Анатольевич писал(а): Во втором случае перемножаются два верных неравенства, но граничные значения в них достигаются при различных значениях `y`. Именно это и хотелось услышать Так ровно это я Вам и сказал в первом своем сообщении в данной ветке ... И самое плохое - это когда B действительно случайно оказывается максимумом - в этом случае трудно убедить пациента в том, что его "решение" вовсе не решение... Извините, alex123, сразу не дошло. Наверное, я тот самый трудный пациент.
|
|
|
|
|
ar54
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 20 апр 2017, 10:48 |
|
Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58 Сообщений: 892
|
1. Коллеги, как будто все стало ясно с этой задачей? Владимир Анатольевич объяснил суть парадокса, MathUser дал решение исходной задачи... Спасибо всем, принявшим участие в дискуссии! К сожалению, так и не было ни одного поста от главных участников форума - школьников 2. Сама задача имеет пересечения с обсуждавшейся ранее задачей из темы: http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=8&t=142603. По самой задаче. По существу дана функция двух переменных `f(x,y)=x^2-y^2`, и требуется найти область значений ( множество значений) этой функции на области `D:={(x,y) quad | quad (x in [9,12]) ^^ (y in [3,4])}`. Задача имеет простое решение из-за того, что а) область`D ` - простая (прямоугольник со сторонами, параллельными осям декартовой СК); б) функция обладает хорошими свойствами (непрерывность, монотонное возрастание (убывание) по каждой из переменных). Задача несколько усложняется, если рассмотреть более сложные области определения: а) Область `D` является объединением двух не пересекающихся прямоугольников: `D:={(x,y) quad | quad (x in [9,10] uu [11,12] ) ^^ (y in [3,4])}`; б) Область `D` является кругом: `D:={(x,y) quad | quad (x-1)^2+y^2 <= 1}`.
|
|
|
|
|
WWS
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 04 янв 2018, 21:59 |
|
Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32 Сообщений: 597 Откуда: г. Октябрьск
|
Тема старая НО. Вот какая история. `a,b,c,d` последовательные члены арифметической прогрессии. Характеристические свойства составят систему.
`{(a+c=2b),(b+d=2c):}` - необходимое и достаточное условие для ар.прогрессии. Теперь складываем уравнения: `a+b+c+d=2b+2c` или `a+d=b+c` - и то и другое условия необходимые, но уже недостаточные. Как объяснить ученику пропажу достаточности.
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 05 янв 2018, 11:13 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
WWS писал(а): Тема старая НО. Вот какая история. `a,b,c,d` последовательные члены арифметической прогрессии. Характеристические свойства составят систему.
`{(a+c=2b),(b+d=2c):}` - необходимое и достаточное условие для ар.прогрессии. Теперь складываем уравнения: `a+b+c+d=2b+2c` или `a+d=b+c` - и то и другое условия необходимые, но уже недостаточные. Как объяснить ученику пропажу достаточности. Проделано преобразование однородной системы из двух линейных уравнений в систему из одного линейного уравнения. В первой системе можно взять любые две неизвестные и уже единственным способом выразить через них остальные две. Во второй системе можно взять любые три неизвестные и выразить через них оставшуюся. Таким образом, неравносильное преобразование системы уравнений делает допустимыми четверки чисел, у которых уже первые три числа не образуют начало арифметической прогрессии.
|
|
|
|
|
WWS
|
Заголовок сообщения: Re: Почти софизм... Добавлено: 05 янв 2018, 13:20 |
|
Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32 Сообщений: 597 Откуда: г. Октябрьск
|
MathUser писал(а): WWS писал(а): Тема старая НО. Вот какая история. `a,b,c,d` последовательные члены арифметической прогрессии. Характеристические свойства составят систему.
`{(a+c=2b),(b+d=2c):}` - необходимое и достаточное условие для ар.прогрессии. Теперь складываем уравнения: `a+b+c+d=2b+2c` или `a+d=b+c` - и то и другое условия необходимые, но уже недостаточные. Как объяснить ученику пропажу достаточности. Проделано преобразование однородной системы из двух линейных уравнений в систему из одного линейного уравнения. В первой системе можно взять любые две неизвестные и уже единственным способом выразить через них остальные две. Во второй системе можно взять любые три неизвестные и выразить через них оставшуюся. Таким образом, неравносильное преобразование системы уравнений делает допустимыми четверки чисел, у которых уже первые три числа не образуют начало арифметической прогрессии. Спасибо. Думаю это объяснение будет посильно школьнику.
|
|
|
|
|
|
|
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6 |
|
|
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|
|